Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№502 учебника 2023-2026 (стр. 146):
Если умножить квадратный трёхчлен \(ax^2-2x+b\) на квадратный трёхчлен \(x^2+ax-1\), то получится многочлен четвёртой степени, в котором коэффициенты при \(x^2\) и \(x\) соответственно равны \(8\) и \(-2\). Найдите \(a\) и \(b\).
№502 учебника 2014-2022 (стр. 133):
Задайте системой неравенств:
а) треугольник, изображённый на рисунке 73, а;
б) кольцо, изображённое на рисунке 73, б.
№502 учебника 2023-2026 (стр. 146):
Вспомните:
№502 учебника 2014-2022 (стр. 133):
№502 учебника 2023-2026 (стр. 146):
\((ax^2-2x+b)(x^2+ax-1)=\)
\(=ax^2\cdot x^2+ax^2\cdot ax+ax^2\cdot(-1)+(-2x)\cdot x^2+(-2x)\cdot ax+(-2x)\cdot(-1)+b\cdot x^2+b\cdot ax+b\cdot(-1)=\)
\(=ax^4+a^2x^3-ax^2-2x^3-2ax^2+2x+bx^2+abx-b=\)
\(=ax^4+(a^2-2)x^3+(b-3a)x^2+(ab+2)x-b\)
\(\begin{cases} b-3a=8,\\ ab+2=-2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} b=8 + 3a,\\ ab=-2-2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} b=8 + 3a,\\ a(8 + 3a)=-4 \end{cases}\)
\(a(8+3a)=-4\)
\(8a+3a^2+4=0\)
\(3a^2+8a+4=0\)
\(D=8^2-4\cdot3\cdot4=\)
\(=64-48=16>0\) - два корня.
\(a_1=\dfrac{-8+4}{2\cdot3}=\frac{-4}{6}=-\dfrac{2}{3}\).
\(a_2=\dfrac{-8-4}{2\cdot3}=\frac{-12}{6}=-2\).
Если \(a=-\dfrac{2}{3}\), то
\(b=8+3\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right) = 8 - 2=6\).
Если \(a=-2\), то
\(b=8+3\cdot(-2) = 8 - 6=2\).
Ответ: \(a =-2\), \(b = 2\) или \(a = -\dfrac{2}{3}\), \(b = 6\).
Пояснения:
Использованные правила:
1) Раскрытие скобок (распределительный закон): каждое слагаемое первой скобки умножаем на каждое слагаемое второй скобки.
2) Приведение подобных членов: слагаемые с одинаковой степенью \(x\) складываются отдельно.
3) Решение квадратного уравнения
\(Ax^2+Bx+C=0\)
по дискриминанту:
\( D=B^2-4AC\).
Если \(D > 0\), то
\(x=\dfrac{-B\pm\sqrt{D}}{2A}.\)
Сначала перемножаем два трёхчлена, получая сумму всех попарных произведений. Затем группируем слагаемые по степеням \(x\). Так мы явно видим коэффициенты при \(x^2\) и при \(x\): это соответственно \(b-3a\) и \(ab+2\).
По условию задачи эти коэффициенты равны \(8\) и \(-2\), поэтому составляем систему:
\[\begin{cases}b-3a=8,\\ ab+2=-2.\end{cases}\]
Из первого уравнения выражаем \(b\) через \(a\) и подставляем во второе. Получается квадратное уравнение относительно \(a\), у которого два корня. Для каждого найденного \(a\) вычисляем \(b\) по формуле \(b=8+3a\). Поэтому получаем две пары \((a,b)\).
№502 учебника 2014-2022 (стр. 133):
а) \(y=kx+b\) - уравнение прямой.
Прямая, проходящая через точки \((0;3)\), \((-2;0)\):
\( \begin{cases} 3=k\cdot0+b\\ 0=k\cdot(-2)+b \end{cases} \)
\( \begin{cases} b=3 \\ 2k=3 \end{cases} \)
\( \begin{cases} b=3 \\ k=1,5 \end{cases} \)
Прямая, проходящая через точки \((0;3)\), \((2;0)\):
\( \begin{cases} 3=k\cdot0+b\\ 0=k\cdot2+b \end{cases} \)
\( \begin{cases} b=3 \\ -2k=3 \end{cases} \)
\( \begin{cases} b=3 \\ k=-1,5 \end{cases} \)
Треугольник с вершинами \((-2;0)\), \((2;0)\), \((0;3)\) задаётся системой:
\[ \begin{cases} y \ge 0,\\[4pt] y \le 1,5x + 3,\\[4pt] y \le -1,5x+3. \end{cases} \]
б) \(x^2+y^2=25\) - уравнение окружности с центром в точке \((0; 0)\) и радиусом \(r=5\).
\(x^2+y^2=100\) - уравнение окружности с центром в точке \((0; 0)\) и радиусом \(r=10\).
Кольцо с центром в начале координат, внутренним радиусом \(5\) и внешним радиусом \(10\) задаётся системой:
\( \begin{cases} x^{2} + y^{2} \ge 25,\\[4pt] x^{2} + y^{2} \le 100. \end{cases} \)
Пояснения:
1. Общее уравнение прямой:
\(y=kx+b\).
Неравенство \( y \le kx+b \) задаёт полуплоскость, расположенную не выше прямой \(y = kx + b\) . Неравенство \( y \ge kx + b \) задаёт полуплоскость, расположенную не ниже прямой \(y = kx + b\).
2. Уравнение окружности с центром \((0;0)\) и радиусом \(r\): \[ x^2 + y^2 = r^2. \] Неравенства вида \(x^2 + y^2 \le r^2\) задают круг (внутри и на окружности), а \(x^2 + y^2 \ge r^2\) — внешнюю область (вне круга и на окружности).
Вернуться к содержанию учебника