Упражнение 368 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(K(2, -5)\) - центр окружности.

\( (x - 2)^2 + (y + 5)^2 = r^2,\)

\(r\) - радиус окружности.

а) \(A(-1, -1)\)

\( (-1 - 2)^2 + (-1 + 5)^2 =r^2\)

\((-3)^2 + 4^2 =r^2\)

\(9 + 16 =r^2\)

\(r^2 = 25\)

Уравнение окружности:

\( (x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 25. \)

Ответ: \( (x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 25. \)

б) \(B(-3, 7)\)

\( (-3 - 2)^2 + (7 + 5)^2 =r^2\)

\((-5)^2 + 12^2 = r^2\)

\(25 + 144 =r^2\)

\(r^2 = 169\)

Уравнение окружности:

\( (x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 169. \)

Ответ: \( (x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 169. \)

в) \(C(1, -4)\)

\( (1 - 2)^2 + (-4 + 5)^2 =r^2\)

\((-1)^2 + 1^2 = r^2\)

\(1 + 1 =r^2\)

\(r^2 = 2 \)

Уравнение окружности:

\( (x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 2. \)

Ответ: \( (x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 2. \)

Пояснения:

Уравнение окружности с центром в точке \((a; b)\) имеет следующий вид:

\[ (x - a)^2 + ( y - b)^2 = r^2, \]

где \(r\) - радиус окружности.

Чтобы написать уравнение окружности, проходящей через заданную точку, с заданным центром, нужно определить квадрат ее радиуса. Для этого в общее уравнение окружности подставляем координаты точки, через которую проходит эта окружность, и выполняем вычисления. Затем записываем уравнение окружности, используя найденный квадрат радиуса.

\( \frac{1}{x^3 - x^2 + x - 1} + \frac{4x^2 + 21}{x^3 + x^2 + x + 1} = \frac{4x^3 - 3x^2 + 14x - 4}{x^4 - 1}\)

\( \frac{1}{x^2(x - 1) + (x - 1)} + \frac{4x^2 + 21}{x^2(x + 1) + (x + 1)} = \frac{4x^3 - 3x^2 + 14x - 4}{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}\)

\( \frac{1}{(x - 1) (x^2+ 1)} + \frac{4x^2 + 21}{(x + 1)(x^2 + 1)} = \frac{4x^3 - 3x^2 + 14x - 4}{(x - 1)(x+1)(x^2 + 1)}\) \(/\times(x - 1)(x+1)(x^2 + 1)\)

ОДЗ:

\(x - 1 \ne 0, \Rightarrow x\neq 1;\)

\(x + 1 \ne 0, \Rightarrow x\neq -1.\)

\(x + 1 + (4x^2 + 21)(x - 1) = 4x^3 - 3x^2 + 14x - 4\)

\(x + 1 + 4x^3 + 21x - 4x^2 - 21 = 4x^3 - 3x^2 + 14x - 4\)

\(4x^3 - 4x^2 + 22x - 20 = 4x^3 - 3x^2 + 14x - 4\)

\(\cancel {4x^3} - 4x^2 + 22x - 20 - \cancel{4x^3} + 3x^2 - 14x + 4\)

\(-x^2 + 8x - 16 = 0\)   \(/\times(-1)\)

\(x^2 - 8x + 16 = 0\)

\((x - 4)^2 = 0\)

\(x = 4\)

Ответ: \(x = 4\).

Пояснения:

Алгоритм решения уравнений:

1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно,если возможно, разложить все знаменатели на множители);

2) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Приемы разложения на множители:

• группировка слагаемые и вынесение общего множителя за скобки;

• разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).

После преобразований получили квадратный трёхчлен, который можно представить как квадрат двучлена по формуле квадрата разности двух выражений: \[ x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2. \]

Отсюда \[ (x - 4)^2 = 0 \Rightarrow x = 4. \]

Проверяем, не попадает ли корень в запрещённые значения ОДЗ: \(4 \ne 1\) и \(4 \ne -1\), значит, он допустим.

Итак, уравнение имеет единственный корень: \[ x = 4. \]