Упражнение 364 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(2y - 0,5x^2 = 0\)

\( 2y = 0{,}5x^2 \)  \(/ : 2\)

\(y = 0{,}25x^2\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

б) \(x^2 - 3y = 6\)

\( -3y = 6 - x^2 \)    \(/ : (-3)\)

\(y = \frac{1}{3}x^2 - 2\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

в) \(4x^2 = 8 - y\)

\( y = -4x^2 + 8 \) - парабола, ветви которой направлены вниз.

г) \(-5x^2 + 2y = 3\)

\( 2y = 5x^2 + 3 \)   \(/ : 2\)

\(y = \frac{5}{2}x^2 + \frac{3}{2}\)

\(y = 2,5x^2 + 1,5\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

Пояснения:

Каждый график является параболой, так как уравнения приводятся к виду \(y = ax^2 + b\).

Знак коэффициента при \(x^2\) определяет направление ветвей:

- \(a>0\): ветви вверх;

- \(a<0\): ветви вниз.

Графики строим по точкам, составляя таблицы

а) \(\dfrac{3y^3 + 12y^2 - 27y - 108}{y^2 - 16} = 0\)

ОДЗ: \(y^2 - 16 \ne 0 \)

\((y - 4)(y + 4) \ne 0 \)

\(y - 4 \ne 0\)  и  \(y + 4 \ne 0\)

\(y \ne 4\)             \(y \ne -4\)

\(3y^3 + 12y^2 - 27y - 108 = 0\)   \(/ : 3\)

\(y^3 + 4y^2 - 9y - 36=0\)

\(y^2(y + 4) - 9(y + 4) =0\)

\((y + 4)(y^2 - 9) = 0\)

\((y + 4)(y - 3)(y + 3) = 0\)

или  \( y + 4 = 0\)

        \(y = -4\) - не удовлетворяет ОДЗ.

или  \(y - 3 = 0 \)

        \( y = 3\)

\(или  y + 3 = 0\)

        \(y = -3.\)

Ответ: \(y = 3,\; y = -3.\)

б) \(\dfrac{y^3 + 6y^2 - y - 6}{y^3 - 36y} = 0\)

ОДЗ: \(y^3 - 36y \ne 0\)

\(y(y^2 - 36) \ne 0 \)

\(y(y - 6)(y + 6) \ne 0 \)

\(y \ne 0\) и \(y - 6 \ne 0\) и \(y + 6 \ne 0\)

              \(y \ne 6\)            \( y \ne -6.\)

\(y^3 + 6y^2 - y - 6 = 0\)

\(y^2(y + 6) - 1(y + 6)=0\)

\((y^2 - 1)(y + 6) =0\)

\((y - 1)(y + 1)(y + 6)=0\)

или  \(y - 1 = 0\)

        \(y = 1\)

или  \(y + 1=0\)

        \(y = -1\)

или  \(y + 6 = 0\)

        \(y = -6\) - не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: \(y = 1,\; y = -1.\)

Пояснения:

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

Алгоритм решения уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) приравнять числитель к нулю;

3) решить получившееся целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

При решении целых уравнений сначала разложили на множители левую часть уравнения, затем каждый множитель приравняли к нулю, учитывая то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Для разложения многочленов на множители использовались приёмы группировки и вынесение общего множителя из группы, а также формулу разности квадратов:

\[ a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). \]