Упражнение 274 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y = \sqrt{12x - 3x^2}\)

\(12x - 3x^2 \ge 0\)

\(y = -3x^2 + 12x\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = - 3 < 0\).

\(-3x^2 + 12x = 0\)

\(-3x(x-4)=0\)

\(-3x=0\)   или   \(x - 4 = 0\)

\(x = 0\)                  \(x = 4\)

Ответ: \(x \in [0; 4]\).

б) \(y = \dfrac{1}{\sqrt{2x^2 - 12x + 18}}\)

\(2x^2 - 12x + 18 > 0\)

\(y = 2x^2 - 12x + 18\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 2 > 0\).

\(2x^2 - 12x + 18 = 0\)   \(/ : 2\)

\(x^2 - 6x + 9 = 0\)

\((x - 3)^2 = 0\)

\(x - 3 =0\)

\(x = 3\)

Ответ: \(x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)\).

Пояснения:

Общие правила.

1. Подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательно:

\[\sqrt{A} \text{ определён} \iff A \ge 0.\]

2. Для дроби знаменатель не может быть равен нулю:

\[\frac{1}{B} \text{ определена} \iff B \ne 0.\]

3. Если в знаменателе стоит корень \(\sqrt{A}\), то нужно одновременно: \(\sqrt{A}\ne 0\) и \(A \ge 0\), то есть \(A>0\).

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\) и \(ax^2 + bx + c < 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

В пункте а) при поиске корней использовали разложение на множители, и учитывали то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

В пункте б) применили формулу квадрата разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 -2ab + b^2\).

а) \(x^{3} + 7x^{2} - 6 = 0\)

\(x^{3} + x^{2} + 6x^{2} - 6 = 0\)

\(x^{2}(x + 1) + 6(x^{2} - 1) = 0\)

\(x^{2}(x + 1) + 6 (x - 1)(x+ 1) =0\)

\((x+1)(x^2 +6(x-1))=0\)

\((x+1)(x^2 +6x-6)=0\)

или  \(x + 1 = 0\)

        \(x = -1\)

 или  \(x^2 +6x-6=0\)

\(a = 1\),  \(b =6\),  \(c = -6\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=6^2 - 4\cdot1\cdot(-6)=\)

\(=36 + 24 = 60 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(\sqrt D = \sqrt{60}=\sqrt {4\cdot15} = 2\sqrt{15}.\)

\(x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}=\)

\(= \frac{-6 \pm 2\sqrt {15}}{2\cdot1}=\frac{\cancel2(-3 \pm \sqrt {15})}{\cancel2}=\)

\(=-3 \pm \sqrt {15}\).

Ответ: \(x = -1\), \(x=-3 + \sqrt {15}\),

\(x=-3 - \sqrt {15}\).

б) \(x^{3} + 4x^{2} - 5 = 0\)

\(x^{3} - x^{2}+ 5x^{2} - 5 = 0\)

\(x^{2}(x - 1)+ 5(x^{2} - 1) = 0\)

\(x^{2}(x - 1)+ 5(x - 1)(x+1) = 0\)

\((x - 1)(x^{2}+ 5(x+1)) = 0\)

\((x - 1)(x^{2}+ 5x+5) = 0\)

или  \(x - 1 = 0\)

       \(x = 1,\)

или  \(x^{2}+ 5x+5 = 0\)

\(a = 1\),  \(b =5\),  \(c = 5\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=5^2 - 4\cdot1\cdot5=\)

\(=25 - 20 = 5 > 0 \) - уравнение имеет 2 корня.

\(\sqrt D = \sqrt{5}.\)

\(x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}=\)

\(= \frac{-5 \pm \sqrt 5}{2\cdot1}=\frac{-5 \pm \sqrt 5}{2}.\)

Ответ: \(x = 1,\; x = \dfrac{-5 + \sqrt{5}}{2},\)

\(x = \dfrac{-5 - \sqrt{5}}{2}.\)

Пояснения:

В этих уравнениях основная идея — свести выражение к произведению множителей. Для этого одночлен, содержащий \(x^2\) представляем в виде суммы двух слагаемых, так, чтобы можно было сгруппировать компоненты уравнения парами. В каждой паре выносится общий множитель, после чего появляется общий множитель для всего выражения. Также при разложении на множители применяется формула разности квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).

Затем учитываем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.