Упражнение 359 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x - 2y = 3\) - прямая.

С осью \(x\): \(y = 0\).

\(x - 2\cdot 0 = 3\)

\(x = 3\).

\((3; 0)\) - точка пересечения с осью \(x\).

С осью \(y\): \(x = 0\).

\(0 - 2y = 3 \)

\(-2y = 3\)

\(y = -\dfrac{3}{2}\)

\(y = -1,5\)

\((0; -1,5)\) - точка пересечения с осью \(y\).

б) \(y + 5x = -10\) - прямая.

С осью \(x\): \(y = 0\).

\(0 + 5x = -10 \)

\(5x = -10\)

\(x = -\frac{10}{5}\)

\(x = -2\).

\((-2;0)\) - точка пересечения с осью \(x\).

С осью \(y\): \(x = 0\).

\(y + 0 = -10 \)

\(y = -10\).

\((0; -10)\) - точка пересечения с осью \(y\).

в) \(4x - 0{,}5y = 2\) - прямая.

С осью \(x\): \(y = 0\).

\(4x - 0,5\cdot 0 = 2\)

\(4x = 2\)

\(x = \dfrac24\)

\(x = 0,5\)

\((0,5;0)\) - точка пересечения с осью \(x\).

С осью \(y\): \(x = 0\).

\(4\cdot 0 - 0,5y = 2\)

\(-0{,}5y = 2\)   \(/\times (-2)\)

\(y = -4\).

\((0;-4)\) - точка пересечения с осью \(y\).

г) \(2 - 2x = y\)

\(y = 2 - 2x\) - прямая.

С осью \(x\): \(y = 0\).

\(0 = 2 - 2x\)

\(2x = 2 \)

\(x = 1\).

\((1; 0)\) - точка пересечения с осью \(x\).

С осью \(y\): \(x = 0\).

\(y = 2 - 2\cdot 0 = 2\).

\((0; 2)\) - точка пересечения с осью \(y\).

Пояснения:

Чтобы найти точку пересечения графика с осью \(x\), нужно подставить \(y=0\) в уравнение. Это даёт точку вида \((x_0,0)\).

Чтобы найти точку пересечения с осью \(y\), подставляем \(x=0\). Получаем точку вида \((0,y_0)\).

Каждое из данных уравнений линейное, значит его график — прямая. По двум найденным точкам строим график.

а) \(y^7 - y^6 + y = 1\)

\(y^7 - y^6 + y - 1 = 0\)

\(y^6(y - 1) + (y - 1) = 0\)

\((y - 1)(y^6 + 1) = 0\)

\(y - 1 = 0\) или \(y^6 + 1 = 0\)

\(y = 1\)               \(y^6 = -1\) - нет корней.

Ответ: \(y = 1\).

б) \(y^7 + y^6 - 27y = 27\)

\(y^7 + y^6 - 27y - 27 = 0\)

\(y^6(y + 1) - 27(y + 1) = 0\)

\((y + 1)(y^6 - 27) = 0\)

\(y + 1 = 0\) или \(y^6 - 27 = 0\)

\(y = -1\)            \(y^6 = 27\)

                         \((y^2)^3 = 3^3 \)

                          \(y^2 = 3\)

                          \(y = \pm \sqrt{3}\)

Ответ: \( -1;\; -\sqrt{3};\; \sqrt{3}.\)

Пояснения:

Используемые приёмы:

1) Перенос всех членов уравнения в одну часть со сменой знака.

2) Группировка слагаемых в многочлене и вынесение общего множителя: \[ A\cdot B + C\cdot B = B(A + C). \]

3) Свойство произведения: произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

4) Для чётной степени: \( y^6 \ge 0\) при любом значении \(y\).

Пояснение к пункту а).

Переносим всё в левую часть: \[ y^7 - y^6 + y - 1 = 0. \]

Замечаем пары с общим множителем:

\( (y^7 - y^6) + (y - 1) =\)

\(=y^6(y - 1) + (y - 1). \)

Выносим общий множитель \((y - 1)\):

\(y^6(y - 1) + (y - 1) = \)

\(=(y - 1)(y^6 + 1). \)

Получили произведение двух множителей, приравниваем каждый к нулю: \[ y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1, \] \[ y^6 + 1 = 0 \Rightarrow y^6 = -1. \]

Но при любом значении \(y\) число \(y^6\) всегда неотрицательно, поэтому равенство \(y^6 = -1\) невозможно. Остаётся единственное возможное решение \(y = 1\).

Пояснение к пункту б).

Снова переносим всё в левую часть: \[ y^7 + y^6 - 27y - 27 = 0. \]

Группируем:

\( (y^7 + y^6) - (27y + 27) =\)

\(=y^6(y + 1) - 27(y + 1). \)

Выносим общий множитель \((y + 1)\):

\( y^6(y + 1) - 27(y + 1) =\)

\(=(y + 1)(y^6 - 27). \)

Приравниваем множители к нулю: \[ y + 1 = 0 \Rightarrow y = -1, \] \[ y^6 - 27 = 0 \Rightarrow y^6 = 27. \]

Заметим, что \(y^6 = (y^2)^3\), \( 27 = 3^3\), значит, \(y^2 = 3\), откуда \(y = \pm\sqrt3\).

Итак, у второго уравнения три корня:

\[ y = -1,\, y = \sqrt{3},\, y = -\sqrt{3}. \]