Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№362 учебника 2023-2026 (стр. 115):
Составьте уравнение с двумя переменными, график которого изображён на рисунке 55.
№362 учебника 2014-2022 (стр. 104):
Является ли число:
а) \(\sqrt{3 + \sqrt{5}}\) корнем биквадратного уравнения \(x^4 - 6x^2 + 3 = 0\);
б) \(\sqrt{5 - \sqrt{2}}\) корнем биквадратного уравнения \(x^4 - 10x^2 + 23 = 0\)?
№362 учебника 2023-2026 (стр. 115):
Вспомните:
№362 учебника 2014-2022 (стр. 104):
Вспомните:
№362 учебника 2023-2026 (стр. 115):
а) \(ax + by = c\)
1) \((-2;0)\)
\( -2a + 0b = c\)
\(-2a = c\) \(/ : (-2) \)
\(a = -0,5c\)
2) \((0;1)\)
\(0a + b = c\)
\(b = c\)
3) \(-0,5сx + сy = c\) \( / : c\)
\(-0,5x + y = 1\)
Ответ: \(-0,5x + y = 1\).
б) \(ax + by = c\)
1)\((-2;0)\)
\( -2a + 0b = c\)
\(-2a = c\) \(/ : (-2) \)
\(a = -0,5c\)
2)\((0;-1)\)
\(0a - b = c\)
\(-b = c\) \(/\times (-1)\)
\(b = -c\)
3) \(-0,5сx - сy = c\) \( / : c\)
\(-0,5x - y = 1\)
Ответ: \(-0,5x - y = 1\).
в) \(y = -1\).
Ответ: \(y = -1\).
Пояснения:
Общий вид уравнения прямой:
\(ax + by = c\).
Чтобы составить уравнения прямых по графикам в пунктах а) и б), определяем координаты точек пересечения этих прямых с осью \(x\) и осью \(y\).
Сначала в общее уравнение прямой подставляем координаты точки пересечения прямой с осью \(x\) и выражаем значение \(a\) через\(c\). Затем в общее уравнение прямой подставляем координаты точки пересечения прямой с осью \(y\) и выражаем значение \(b\) через\(c\). Далее в общее уравнение прямой вместо \(a\) и \b\) подставляем выражения, полученные для них через \(c\), делим обе части этого уравнения на \(c\) и получаем уравнение прямой представленной на рассматриваемом графике.
В пункте в) прямая параллельна оси \(х\), в таком случае уравнение прямой задается как \(y = m\), где \(m\) определяется точкой пересечения этой прямой с осью \(y\): \((0; \, m)\).
№362 учебника 2014-2022 (стр. 104):
а) \(x^4 - 6x^2 + 3 = 0\)
\(x = \sqrt{3 + \sqrt{5}}\)
\(\left(\sqrt{3 + \sqrt{5}}\right)^4 - 6\left(\sqrt{3 + \sqrt{5}}\right)^2 + 3 = 0\)
\(\left(\left(\sqrt{3 + \sqrt{5}}\right)^2\right)^2 - 6\left(3 + \sqrt{5}\right) + 3 = 0\)
\(\left(3 + \sqrt{5}\right)^2 - 6\left(3 + \sqrt{5}\right) + 3 = 0\)
\(3^2 + 2\cdot3\cdot\sqrt5 +(\sqrt5)^2 - 18 - 6\sqrt5 + 3 = 0\)
\(9 + \cancel{6\sqrt5} + 5 -18 - \cancel{6\sqrt5} + 3 = 0\)
\(-1 = 0\) - неверно.
Ответ: число \(\sqrt{3 + \sqrt{5}}\) не является корнем уравнения.
б) \(x^4 - 10x^2 + 23 = 0\)
\(x = \sqrt{5 - \sqrt{2}}\)
\(\left(\sqrt{5 - \sqrt{2}}\right)^4 - 10\left(\sqrt{5 - \sqrt{2}}\right)^2 + 23 = 0\)
\(\left(\left(\sqrt{5 - \sqrt{2}}\right)^2\right)^2 - 10\left(5 - \sqrt{2}\right) + 23 = 0\)
\(\left(5 - \sqrt{2}\right)^2 - 10\left(5 - \sqrt{2}\right) + 23 = 0\)
\(5^2 - 2\cdot5\cdot\sqrt2 + (\sqrt2)^2 - 50 + 10\sqrt2 + 23 =0\)
\(25-\cancel{10\sqrt2} + 2 - 50 + \cancel{10\sqrt2} + 23 = 0\)
\(0=0\) - верно.
Ответ: число \(\sqrt{5 - \sqrt{2}}\) является корнем уравнения.
Пояснения:
Биквадратное уравнение имеет вид \[ x^4 + bx^2 + c = 0. \] В нём переменная встречается только в чётных степенях. Чтобы проверить, является ли данное число корнем, можно подставить его в уравнение и, если после вычислений получится верное числовое равенство, то число является корнем уравнения.
Правила, используемые при вычислениях:
1. Свойство степени:
\((a^m)^n = a^{mn}\).
2. Свойство корня:
\((\sqrt a)^2 = a\).
3. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений:
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\),
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Вернуться к содержанию учебника