Упражнение 360 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(5x - 8y = -2\) - прямая.

\(y = -5x - 2\)  \(/ : (-8)\)

\(y = \frac58x + \frac28\)

\(k = \frac58 > 0, \Rightarrow\) прямая возрастающая.

\(m = \frac28 > 0, \Rightarrow\) прямая пересекает ось \(y\) выше оси \(х\).

Ответ: I, II, III четверти.

б) \(5x + 8y = 2\)

\(8y = -5x + 2\)  \(/ : 8\)

\(y = -\frac58x + \frac28\)

\(k = -\frac58 < 0, \Rightarrow\) прямая убывающая.

\(m = \frac28 > 0, \Rightarrow\) прямая пересекает ось \(y\) выше оси \(х\).

Ответ: I, II, IV четверти.

в) \(3x + 4y = 25\)

\(4y = -3x + 25\)  \(/ : 4\)

\(y = -\frac34x +\frac{25}{4}\)

\(k = -\frac34 < 0, \Rightarrow\) прямая убывающая.

\(m = \frac{25}{4} > 0, \Rightarrow\) прямая пересекает ось \(y\) выше оси \(х\).

Ответ: I, II, IV четверти.

г) \(3x + 12y = -20\)

\(12y = -3x - 20\)   \(/ : 12\)

\(y = -\frac{3}{12}x - \frac{20}{12}\)

\(k = -\frac{3}{12} < 0, \Rightarrow\) прямая убывающая.

\(m = -\frac{20}{12} < 0, \Rightarrow\) прямая пересекает ось \(y\) ниже оси \(х\).

Ответ: II, III, IV четверти.

д) \(15x - 18 = 0\)

\(15x = 18\)   \(/ : 15\)

\(x = \frac{18}{15}\)

\(x = \frac65\) - вертикальная прямая.

Ответ: I и IV четверти.

е) \(10y + 5 = 0\)

\(10y = - 5\)

\(y = -\frac{5}{10}\)

\(y = -0,5\) -  горизонтальная прямая.

Ответ: III и IV четверти.

Пояснения:

Чтобы схематически определить, в каких координатных четвертях располагается график линейного уравнения \(ax + by =c\), нужно, используя свойства уравнений, привести уравнения к виду

\(у = kx + m\).

Коэффициент \(k\) показывает возрастающая при \(k > 0\) или убывающая при \(k < 0\) будет прямая. Коэффициент \(m\) отвечает за точку пересечения с осью \(y\), если \(m > 0\), то прямая пересекает ось \(y\) выше оси \(x\), если \(m < 0\), то прямая пересекает ось \(y\) ниже оси \(x\).

а) \(2x^7 + x^6 + 2x^4 + x^3 + 2x + 1 = 0\)

\((2x^7 + x^6) + (2x^4 + x^3) + (2x + 1) = 0\)

\(x^6(2x + 1) + x^3(2x + 1) + (2x + 1) = 0\)

\((2x + 1)(x^6 + x^3 + 1) = 0\)

или  \(2x + 1 = 0 \)

        \(2x = -1\)

         \(x = -\dfrac{1}{2}\)

         \(x = -0,5\)

или \(x^6 + x^3 + 1 = 0\)

Пусть \(x^3 = t\), тогда

\(t^2 + t + 1 = 0\)

\(D = 1^2 - 4\cdot1\cdot1 =\)

\(=1 - 4 = -3 < 0\) - корней нет.

Ответ: \(-0,5\).

б) \(x^7 - 2x^6 + 2x^4 - 4x^3 + x - 2 = 0\)

\((x^7 - 2x^6) + (2x^4 - 4x^3) + (x - 2) = 0\)

\(x^6(x - 2) + 2x^3(x - 2) + (x - 2) = 0\)

\((x - 2)(x^6 + 2x^3 + 1) = 0\)

или  \(x - 2 = 0 \)

        \(x = 2\)

или \(x^6 + 2x^3 + 1 = 0\).

Пусть \( x^3=t\), тогда

\(t^2 + 2t + 1 = 0\)

\((t + 1)^2 = 0\)

\(t + 1 = 0\)

\(t = -1\)

\(x^3 = -1 \)

\(x = -1\)

Ответ: \(2,\; -1.\)

Пояснения:

1. В обоих уравнениях используется группировка слагаемых и вынесение общего множителя. После этого уравнение приводится к виду произведения двух выражений, которое равно нулю.

2. Свойство нуля произведения: произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому после разложения многочлена на множители решаем несколько более простых уравнений.

Пояснение к пункту а).

Сначала сгруппировали степени: \[ (2x^7 + x^6) + (2x^4 + x^3) + (2x + 1). \] В первых двух скобках вынесли \(x^6\) и \(x^3\), заметив общий множитель \(2x + 1\): \[ x^6(2x + 1) + x^3(2x + 1) + (2x + 1) = (2x + 1)(x^6 + x^3 + 1). \] Далее решаем каждое уравнение:

\[ 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -0,5, \]

и \( x^6 + x^3 + 1 = 0. \)

Подстановка \(t = x^3\) даёт квадратное уравнение: \[ t^2 + t + 1 = 0, \] дискриминант которого отрицателен, значит действительных корней нет. Поэтому единственный действительный корень исходного уравнения — \(x = -0,5\).

Пояснение к пункту б).

Аналогично группируем: \[ (x^7 - 2x^6) + (2x^4 - 4x^3) + (x - 2), \] выносим \(x^6\) и \(2x^3\), получаем общий множитель \((x - 2)\): \[ x^6(x - 2) + 2x^3(x - 2) + (x - 2) = (x - 2)(x^6 + 2x^3 + 1). \] Отсюда \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2, \)

и \( x^6 + 2x^3 + 1 = 0. \)

Подстановка \(t = x^3\) даёт:

\( t^2 + 2t + 1 = 0 \)

или по формуле квадрата суммы

\((t + 1)^2 = 0 \),

откуда \(t = -1. \)

Возвращаясь к переменной \(x\), имеем \(x^3 = -1\), откуда \( x = -1 \).

Таким образом, исходное уравнение имеет два решения: \(x = 2\) и \(x = -1\).