Упражнение 361 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} 2x + 5y = 8,\\ y - 3x = 5 \end{cases}\)

1) \(2x + 5y = 8\) - прямая.

\(5y = -2x + 8\)   \(/ : 5\)

\(y = -\frac25x + \frac85\)

\(y = -0,4x + 1,6\)

\(k = -0,4 > 0, \Rightarrow\) прямая убывающая.

\(m = 1,6 > 0, \Rightarrow\) прямая пересекает ось \(y\) выше оси \(х\).

2) \(y - 3x = 5\) - прямая.

\(y = 3x + 5\)

\(k = 3 > 0, \Rightarrow\) прямая возрастающая.

\(m = 5 > 0, \Rightarrow\) прямая пересекает ось \(y\) выше оси \(х\).

Ответ: точка пересечения лежит во II четверти.

б) \(\begin{cases} 5x - 2y = 2,\\ x + 0{,}5y = 4 \end{cases}\)

1) \(5x - 2y = 2\)

\(-2y = -5x + 2\)   \(/ : (-2)\)

\(y = \frac52x - 1\)

\(y = 2,5x - 1\)

\(k = 2,5 > 0, \Rightarrow\) прямая возрастающая.

\(m = -1 < 0, \Rightarrow\) прямая пересекает ось \(y\) ниже оси \(х\).

2) \(x + 0{,}5y = 4\)

\(0,5y = -x + 4\)   \(/\times2\)

\(y = -2x + 8\)

\(k = -2 < 0, \Rightarrow\) прямая убывающая.

\(m = 8 > 0, \Rightarrow\) прямая пересекает ось \(y\) выше оси \(х\).

Ответ: точка пересечения лежит в I четверти.

Пояснения:

Чтобы схематически изобразить графики линейных уравнений вида \(ax + by =c\) и определить, в каких координатных четвертях лежат точки пересечения графиков, нужно, используя свойства уравнений, привести уравнения к виду

\(у = kx + m\).

Коэффициент \(k\) показывает возрастающая при \(k > 0\) или убывающая при \(k < 0\) будет прямая. Коэффициент \(m\) отвечает за точку пересечения с осью \(y\), если \(m > 0\), то прямая пересекает ось \(y\) выше оси \(x\), если \(m < 0\), то прямая пересекает ось \(y\) ниже оси \(x\).

а) \(x^4 - 9x^2 + 18 = 0\)

Пусть \(x^2 = t \ge 0\), тогда

\(t^2 - 9t + 18 = 0\)

\(D = (-9)^2 - 4\cdot 1\cdot18 = \)

\(= 81 - 72 = 9 > 0 \) - 2 корня.

\(\sqrt 9 = 3\).

\(t_1 = \frac{9 + 3}{2\cdot1} = \frac{12}{2} = 6\).

\(t_2 = \frac{9 - 3}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3\).

1) Если \(t = 6\), то

\(x^2 = 6\)

\(x = \pm\sqrt6\)

2) Если \(t = 3\), то

\(x^2 = 3\)

\(x = \pm\sqrt3\)

3) \( -\sqrt{3} + \sqrt{3} + (- \sqrt{6}) + \sqrt{6} = 0\).

Ответ: \(0\).

б) \(x^4 + 3x^2 - 10 = 0\)

Пусть \(x^2 = t \ge 0\), тогда

\(t^2 + 3t - 10 = 0\)

\(D = 3^2 - 4\cdot1\cdot(-10) =\)

\(=9 + 40 = 49 > 0\) -  2 корня.

\(\sqrt {49} = 7\).

\(t_1 = \frac{-3 + 7}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\).

\(t_2 = \frac{-3 - 7}{2\cdot1} = \frac{-10}{2} = -5\) - не удовлетворяет условию.

Если \(t = 2\), то

\(x^2 = 2\)

\(x = \pm \sqrt 2\)

\(- \sqrt 2 + \sqrt 2 = 0\)

Ответ: \(0\).

в) \(4x^4 - 12x^2 + 1 = 0\)

Пусть \(x^2 = t \ge 0\), тогда

\(4t^2 - 12t + 1 = 0\)

\(D = (-12)^2 - 4\cdot4\cdot1 = \)

\(=144 - 16 = 128 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {128} =\sqrt{64\cdot2} = 8\sqrt2\).

\(t_{1,2} = \frac{12 \pm 8\sqrt2}{2\cdot4} = \frac{12 \pm 8\sqrt2}{8}= \)

\(=\frac{\cancel4(3 \pm 2\sqrt2)}{\cancel8_2}= \frac{3 \pm 2\sqrt2}{2} \).

1) Если \(t=\frac{3 + 2\sqrt2}{2}\), то

\(x^2=\frac{3 + 2\sqrt2}{2}\)

\(x = \pm\sqrt{\frac{3 + 2\sqrt2}{2}}\).

2) Если \(t=\frac{3 - 2\sqrt2}{2}\), то

\(x^2=\frac{3 - 2\sqrt2}{2}\)

\(x = \pm\sqrt{\frac{3 - 2\sqrt2}{2}}\)

\(- \sqrt{\frac{3 + 2\sqrt2}{2}} +\sqrt{\frac{3 + 2\sqrt2}{2}} +\left( -\sqrt{\frac{3 - 2\sqrt2}{2}}\right) + \sqrt{\frac{3 - 2\sqrt2}{2}} = 0\)

Ответ: \(0\).

г) \(12y^4 - y^2 - 1 = 0\)

Пусть \(x^2 = t \ge 0\), тогда

\(12t^2 - t - 1 = 0\)

\(D = (-1)^2 - 4\cdot12\cdot(-1) =\)

\(= 1 + 48 = 49 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{49} = 7\).

\(t_1 = \dfrac{1 + 7}{2\cdot12} = \frac{8}{24}= \dfrac{1}{3}\)

\(t_2 = \dfrac{1 - 7}{24} = \frac{-6}{24}= -\dfrac{1}{4}\) - не удовлетворяет условию.

Если \(t = \frac13\), то

\(x^2 = \frac13\)

\(x = \pm \sqrt{\frac13}\)

\(-\sqrt{\frac13} + \sqrt{\frac13} = 0\)

Ответ: \(0\).

Пояснения:

1. Биквадратное уравнение имеет вид \[ a x^{4} + b x^{2} + c = 0. \] В таких уравнениях выполняют замену

\( x^{2} = t, \) тогда \(x^4 = (x^2)^2 = t^2.\)

Тогда уравнение превращается в обычное квадратное:

\[ a t^{2} + bt + c = 0, \]

которое решаем через дискриминант:

\(D =b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D < 0\), то уравнение не имеет корней.

2. После нахождения значений \(t\) решают уравнения вида \[ x^{2} = t, \] оставляя только те, у которых \(t \ge 0\), ведь квадрат числа не может быть отрицательным, получая \(x = \pm \sqrt t\).