Упражнение 346 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 108

1) \(x^2 + 6x - 7 \le 0\)

\(y = x^2 + 6x - 7\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^2 + 6x - 7 = 0\)

\(D = 6^2 - 4\cdot1\cdot(-7) =\)

\(=36 + 28 = 64 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {64} = 8\).

\(x_{1} = \dfrac{-6 - 8}{2\cdot1} = \dfrac{-14}{2} = -7\).

\(x_{2} = \dfrac{-6 + 8}{2\cdot1} = \dfrac{2}{2} = 1\).

\(x \in [-7; 1]\).

2) \(x^2 - 2x - 15 \le 0\)

\(y = x^2 - 2x - 15\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(x^2 - 2x - 15 = 0\)

\(D = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-15) =\)

\(=4 + 60 = 64 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {64} = 8\).

\(x_{1} = \dfrac{2 - 8}{2\cdot1} = \dfrac{-6}{2} = -3 \).

\(x_{2} = \dfrac{2 + 8}{2\cdot1} = \dfrac{10}{2} = 5 \).

\(x \in [-3; 5]\).

3) \([-7; 1] \cap [-3; 5] = [-3; 1]\).

Ответ: \(x \in [-3;\,1]\).

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c \ge 0\):

1) находим корни квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\), если они есть;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) и на оси \(x\).

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Чтобы число \(x\) было решением обоих неравенств одновременно, нужно найти пересечение решений этих неравенств.