Упражнение 345 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( x^4 - 13x^2 + k = 0 \)

Пусть \( y = x^2 \quad (y \ge 0). \)

\(y^2 - 13y + k = 0\)

\[ D = 13^2 - 4\cdot1\cdot k = 169 - 4k. \]

а) Исходное уравнение имеет 4 корня, если \(D > 0\) у квадратного уравнения по \(y\) и его корни больше нуля:

\(169 - 4k > 0\)

\(-4k > -169\)   \(/ : (-4)\)

\( k < \frac{169}{4}\)

\( k < 42\frac{1}{4}\)

\(y_1 = \frac{13 + \sqrt D}{2} > 0\) при любом \(m\).

\(y_2 = \frac{13 - \sqrt D}{2} > 0\), если

\(13 - \sqrt D > 0\)

\(- \sqrt D > - 13\)  \(/\times (-1)\)

\(\sqrt D < 13\)

\((\sqrt D)^2 < 13^2\)

\(D < 169\)

\(169 - 4k < 169\)

\(-4k < 169 - 169\)

\(-4k < 0\)    \(/ : (-4)\)

\(k > 0\)

\(k \in (0; 42\frac14)\).

б) Исходное уравнение имеет 2 корня:

1) если \(D = 0\) у квадратного уравнения по \(y\) и его корень больше нуля.

\(169 - 4k = 0\)

\(-4k = - 169\)

\( k = \frac{169}{4}\)

\( k = 42\frac{1}{4}\)

\(y = \frac{13}{2}\)

\(y = 6,5 > 0\).

2) если \(D > 0\) у квадратного уравнения по \(y\) и один из его корней больше нуля, а другой меньше нуля.

\(169 - 4k > 0\)

\(-4k > -169\)   \(/ : (-4)\)

\( k < \frac{169}{4}\)

\( k < 42\frac{1}{4}\)

\(y_1 = \frac{13 + \sqrt D}{2} > 0\) при любом \(m\).

\(y_2 = \frac{13 - \sqrt D}{2} < 0\), если

\(13 - \sqrt D < 0\)

\(- \sqrt D < - 13\)  \(/\times (-1)\)

\(\sqrt D > 13\)

\((\sqrt D)^2 > 13^2\)

\(D > 169\)

\(169 - 4k > 169\)

\(-4k > 169 - 169\)

\(-4k > 0\)    \(/ : (-4)\)

\(k < 0\)

\(k \in (-\infty; 0)\).

в) Исходное уравнение не имеет корней, если \(D < 0\) у квадратного уравнения по \(y\). Случай, когда \(D > 0\) у квадратного уравнения по \(y\), а оба корня отрицательны, невозможен (смотри пункт а)).

\(169 - 4k < 0\)

\(-4k < -169\)   \(/ : (-4)\)

\( k > \frac{169}{4}\)

\( k > 42\frac{1}{4}\)

\(k \in \left(42\frac{1}{4}; +\infty\right)\).

Вывод:

а) уравнение имеет 4 корня при

\(k \in (0; 42\frac14)\).

б) уравнение имеет 2 корня при

\(k \in (-\infty; 0) \cup \{42\frac14\}\).

в) уравнение не имеет корней при

\(k \in \left(42\frac{1}{4}; +\infty\right)\).

Пояснения:

1. Подстановка \(y = x^2\) переводит биквадратное уравнение в обычное квадратное по \(y\).

2. Для подсчёта корней по \(x\) важно, что допустимы только корни \(y \ge 0\), и каждый положительный \(y\) даёт два корня \(x = \pm\sqrt{y}\), а \(y = 0\) даёт один корень \(x = 0\).

3. Так получаем полную классификацию числа корней исходного уравнения в зависимости от значения параметра \(k\).

Нужно отметить, что при \(k = 0\) уравнение \( x^4 - 13x^2 + k = 0 \) будет иметь 3 корня:

\( x^4 - 13x^2 = 0 \)

\(x^2(x^2 - 13) = 0\)

\(x^2 = 0\)  или  \(x^2 - 13 = 0\)

\(x = 0\)            \(x^2 = 13\)

                       \(x = \pm\sqrt{13}\).

1) \( y = x^{4} - ax^{3} - 10x^{2} + 80x - 96 \)

\((4;\,0)\)

\( 4^{4} - a\cdot4^{3} - 10\cdot4^{2} + 80\cdot4 - 96 = 0\)

\( 256 - 64a - 160 + 320 - 96 = 0\)

\( 320 - 64a = 0\)

\( 64a = 320\)

\(a = \frac{320}{64}\)

\(a = 5\)

2) \( y = x^{4} - 5x^{3} - 10x^{2} + 80x - 96\)

С осью \(x\):  \(y = 0\).

\(x = 4\) — корень уравнения.

\( x^{4} - 5x^{3} - 10x^{2} + 80x - 96 = (x - 4)(x^{3} - x^{2} - 14x + 24)\)

\( (x - 4)(x^{3} - x^{2} - 14x + 24)=0\)

\((x^{3} - x^{2} - 14x + 24)=0\)

\(\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm8,\pm12,\pm24\) - делители числа 24.

Если \(x = 2\), то

\( 2^{3} - 2^{2} - 14\cdot2 + 24 =0\)

\(8 - 4 - 28 + 24 = 0\)

\(0 = 0\)  - верно.

\(x = 2\) — корень уравнения.

\((2; 0)\) - точка пересечения с осью \(x\).

\( x^{3} - x^{2} - 14x + 24 = (x - 2)(x^{2} + x - 12)\)

\((x - 2)(x^{2} + x - 12)=0\)

\(x^{2} + x - 12 = 0\)

\(D = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-12) =\)

\(=1 + 48 = 49 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{49} = 7\).

\(x_1 = \frac{-1 + 7}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3\).

\(x_2 = \frac{-1 - 7}{2\cdot1} = \frac{-8}{2} = -4\).

\((3; 0),\, (-4; 0)\) - точки пересечения с осью \(x\).

Ответ: \(a = 5\), \((2,0),\, (-4,0),\, (3,0). \)

Пояснения:

Если точка \((x_0,0)\) лежит на графике, то \(x_0\) — корень уравнения, значит подстановка даёт уравнение для нахождения \(a\).

Чтобы найти точки пересечения с \(Ox\), нужно решить уравнение \(y = 0\).

По условию \((4; 0)\) точка на графике рассматриваемой функции, значит, \(x = 4\) - корень уравнения. Используя этот корень, раскладываем многочлен на множители, для этого делим многочлен \(x^{4} - ax^{3} - 10x^{2} + 80x - 96\) на \((x - 4)\) (столбиком) и получаем многочлен меньшей степени (третьей). Процесс можно повторять, пока степень не станет 2, при этом учитываем то, что если многочлен имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (последнего числового коэффициента). В данном случае, мы определили, что корнем многочлена \( x^{3} - x^{2} - 14x + 24\) является число \(2\). Снова разделили уголком многочлен на \((x - 2)\) и получили многочлен второй степени.

Квадратное уравнение

\(ax^{2} + bx + c = 0\)

решается через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\[ x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]