Упражнение 178 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1) \( y=\frac{x+2}{x-1}=\frac{(x-1) +1 +2}{x-1} =\)

\(=1+\frac{3}{x-1}. \)

Асимптоты: \(x=1\), \(y=1\); коэффициент \(k = 3>0\), значит ветви гиперболы расположены в I и III четвертях относительно асимптот - это график на рисунке а).

2) \( y=\frac{-x-2}{x-1}=-\left(\frac{x+2}{x-1}\right)=\)

\(=-\left(1+\frac{3}{x-1}\right) =-1-\frac{3}{x-1}. \)

Асимптоты: \(x=1\), \(y=-1\); коэффициент \(k = -3<0\), значит ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях относительно асимптот - это график на рисунке б).

Пояснения:

Чтобы установить соответствие между функциями и графиками, приводим эти функции к виду \(\displaystyle y = \frac{k}{x - m} + n\). Для этого нужно выделить целую часть из дроби, соответствующей рассматриваемой функции. При этом учитываем то, что значение выражения не изменится, если к нему прибавить и вычесть одно и то же число, а также помним:

\(\dfrac{ka + b}{a} = \dfrac{ka}{a} + \dfrac{b}{a} = k + \dfrac{b}{a}\).

Функция вида \( y = a + \frac{k}{x-m} \) является гиперболой. Её вертикальная асимптота: \(x=m\), горизонтальная: \(y=a\).

Знак числа \(k\) определяет расположение ветвей: при \(k>0\) ветви находятся в I и III четвертях относительно асимптот, при \(k<0\) — во II и IV четвертях.

а) \(\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{8}{x+5}=\dfrac{14}{x^2+3x-10}\)

\(x^2+3x-10=0\)

\(D = 3^2 - 4\cdot1\cdot(-10) =\)

\(= 9 + 40 = 49 > 0\) - два действительных корня.

\(\sqrt{49} = 7\)

\(x_1 = \frac{-3 + 7}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\).

\(x_1 = \frac{-3 - 7}{2\cdot1} = \frac{-10}{2} = -5\).

\(x^2+3x-10=(x-2)(x+5)\)

\(\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{8}{x+5}=\dfrac{14}{(x-2)(x+5)}\)  \(/\times (x-2)(x+5)\)

ОДЗ: \(x\ne 2,\ x\ne -5\)

\(x(x+5)-8(x-2)=14\)

\(x^2+5x-8x+16-14=0\)

\(x^2-3x+2=0\)

\(D = (-3)^2 - 4\cdot1\cdot2 = \)

\(=9 - 8 = 1 > 0\) - два действительных корня.

\(\sqrt{1} = 1\)

\(x_1 = \frac{3 + 1}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\) - не подходит по ОДЗ.

\(x_2 = \frac{3 - 1}{2\cdot1} = \frac{2}{2} = 1\).

Ответ: \(x=1\).

б) \(\dfrac{y}{2y-3}+\dfrac{1}{y+7}+\dfrac{17}{2y^2+11y-21}=0\)

\(2y^2+11y-21=0\)

\(D = 11^2 - 4\cdot2\cdot(-21) = \)

\(=121 + 168 = 289 > 0\) - два действительных корня.

\(\sqrt{289} = 17\)

\(y_1 = \frac{-11 + 17}{2\cdot2} = \frac{6}{4} = \frac32\).

\(y_2 = \frac{-11 - 17}{2\cdot2} = \frac{-28}{4} =-7\).

\(2y^2+11y-21=2(y - \frac32)(y + 7)=\)

\(=(2y-3)(y+7)\).

\(\dfrac{y}{2y-3}+\dfrac{1}{y+7}+\dfrac{17}{(2y-3)(y+7)}=0\)

ОДЗ: \(y\ne \dfrac{3}{2},\ y\ne -7\)

\(y(y+7)+(2y-3)+17=0\)

\(y^2+7y+2y-3+17=0\)

\(y^2+9y+14=0\)

\(D = 9^2 - 4\cdot1\cdot14 =\)

\(= 81 - 56 = 25 > 0 \) - два действительных корня.

\(\sqrt{25} = 5\)

\(y_1 = \frac{-9 + 5}{2\cdot1} = -\frac{4}{2} = -2\).

\(y_2 = \frac{-9 - 5}{2\cdot1} = -\frac{14}{2} = -7\) - не подходит по ОДЗ.

Ответ: \(y=-2\).

Пояснения:

При решении дробных уравнений сначала нужно найти ограничения на переменную. Значения, при которых знаменатель равен нулю, не подходят.

Правило: знаменатель \(\ne 0 \).

Далее удобно разложить квадратные трехчлены на множители по формуле:

\(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\).

Это позволяет увидеть общий знаменатель и избавиться от дробей.

Чтобы разложить квадратные трехчлены \(ax^2 + bx + c\) на множители, приравниваем их к нулю и решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратное уравнение имеет два действительных корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

После этого обе части уравнения умножаются на общий знаменатель. Так как мы указали ограничения, знаменатель не равен нулю, и такое умножение допустимо. После избавления от знаменателей приводим подобные и получаем полное квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант.

В каждом случае получаются два корня, но один из них запрещён условием области допустимых значений. Поэтому остаётся только один корень.