Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№174 учебника 2023-2026 (стр. 67):
Докажите, что графику функции \(y=\dfrac{2x+5}{x-3}\) принадлежат лишь две точки, у которых и абсцисса, и ордината — натуральные числа. Найдите координаты этих точек.
№174 учебника 2014-2022 (стр. 59):
На рисунке 45 изображён график функции \( y=\sqrt[3]{x} \).
Найдите, используя этот график:
а) \(\sqrt[3]{0{,}5}\);
б) \(\sqrt[3]{4}\);
в) \(\sqrt[3]{-2}\);
г) \(\sqrt[3]{6}\).
№174 учебника 2023-2026 (стр. 67):
Вспомните:
№174 учебника 2014-2022 (стр. 59):
Вспомните:
№174 учебника 2023-2026 (стр. 67):
\( y=\frac{2x+5}{x-3},\)
\( x\in \mathbb{N},\; x\neq 3,\; y\in\mathbb{N}. \)
\( \frac{2x+5}{x-3} = \frac{2x - 6 + 6 + 5}{x-3} = \)
\(=\frac{2(x - 3) + 11}{x-3} = 2 + \frac{11}{x-3}.\)
\(y = 2 + \frac{11}{x-3}\)
\(y\) - натуральное число, если \(x-3\) - делитель числа \(11\).
Делители 11: \(\pm1\), \(\pm11\).
1) Если \(x - 3 = -1\), то
\(x = -1 + 3 = 2\),
\(y = 2 + \frac{11}{-1} = 2 - 11 = -9\) - не является натуральным.
2) Если \(x - 3 = 1\), то
\(x = 1 + 3 = 4\),
\(y = 2 + \frac{11}{1} = 2 + 11 = 13\).
Точка \((4; 13)\).
3) Если \(x - 3 = 11\), то
\(x = 11 + 3 = 14\),
\(y = 2 + \frac{11}{11} = 2 + 1 = 3\).
Точка \((14,\;3)\).
4) Если \(x - 3 = -11\), то
\(x = -11 + 3 = -9\) - не является натуральным.
Ответ: \( (14; 3), \quad (4; 13). \)
Пояснения:
Для поиска целых или натуральных решений рационального уравнения принято выделять целую часть, то есть приводить функцию к виду \(\displaystyle y = \frac{k}{x - m} + n\). При этом учитываем то, что значение выражения не изменится, если к нему прибавить и вычесть одно и то же число, а также помним:
\(\dfrac{ka + b}{a} = \dfrac{ka}{a} + \dfrac{b}{a} = k + \dfrac{b}{a}\).
Чтобы условие задачи было выполнимо, оставшаяся дробь \(\dfrac{b}{a}\) должна быть целым числом, тогда \(a\) — делитель \(b\).
После преобразования:
\(y = 2 + \frac{11}{x-3}\),
чтобы \(y\) был натуральным, дробь \( \frac{11}{x-3}\) должна быть целым числом, которое больше 2. Это возможно только в четырех случаях, потому что число 11 имеет лишь четыре целых делителя: \(\pm1\) и \(\pm11\), но по условию \(x\) и \(y\) - натуральные числа, значит, знаменатель \(x - 3\) не может быть равен \(-1\), так как в этом случае \(y\) не будет натуральным, и \(-11\), так как в этом случае \(x\) - не будет натуральным.
При \(x - 3 = 1\), получаем
\(x = 4\), \(y = 13\).
При \(x - 3 = 11\), получаем
\(x = 14\), \(y = 3\).
Обе точки \( (14,\;3)\) и \((4,\;13)\) принадлежат графику и удовлетворяют условию натуральности.
№174 учебника 2014-2022 (стр. 59):
а) \(\sqrt[3]{0{,}5}\approx 0{,}8\)
б) \(\sqrt[3]{4}\approx 1{,}6\)
в) \(\sqrt[3]{-2}\approx -1{,}3\)
г) \(\sqrt[3]{6} \approx 1{,}8\)
Пояснения:
Кубический корень определяется равенством:
\[ \sqrt[3]{a}=x \quad \Leftrightarrow \quad x^3=a \]
Это означает, что для нахождения корня нужно найти такое значение \(x\), при котором \(y=x^3\) равно заданному числу.
По графику функции \(y=\sqrt[3]{x}\):
мы, наоборот, по значению \(x\) на оси абсцисс сразу получаем значение корня на оси ординат.
Алгоритм:
на оси \(x\) находим заданное число, поднимаемся вверх до графика и считываем значение \(y\).
Важно: функция \(y=\sqrt[3]{x}\) определена при всех \(x\) и принимает как положительные, так и отрицательные значения, поэтому корни существуют для любых чисел.
Вернуться к содержанию учебника