Упражнение 147 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(0{,}6a - (a + 0{,}3)^2 = 0{,}27\)

\(0{,}6a - \left(a^2 + 0{,}6a + 0{,}09\right) = 0{,}27 \)

\( 0{,}6a - a^2 - 0{,}6a - 0{,}09 = 0{,}27\)

\( -a^2 - 0{,}09 = 0{,}27 \)

\( -a^2 = 0{,}36 \)

\( a^2 = -0{,}36\).

Ответ: корней нет.

б) \(\small\dfrac{y^2 - 2y}{4} = 0{,}5y(6 - 2y)\)   \(\small|\times4\)

\(y^2 - 2y = 4\cdot 0{,}5y(6 - 2y)\)

\( y^2 - 2y = 12y - 4y^2\)

\( y^2 - 2y - 12y + 4y^2 = 0\)

\( 5y^2 - 14y = 0\)

\( y(5y - 14) = 0\)

\( y = 0\) или \(5y - 14 = 0\)

                  \(5y=14\)

                   \(y = \frac{14}{5}\)

                   \(y=2,8.\)

Ответ: \(y = 0\) или \(y =2,8\).

Пояснения:

Использованные приемы:

1. В каждом уравнении сначала раскрыли скобки по следующим правилам:

- распределительное свойство умножения:

\(a(b + c)= ab + ac\);

- квадрат суммы:

\((a + b)^2 = a^2 +2ab + b^2\).

2. Переносим все компоненты из правой части уравнения в левую, изменив их знаки на противоположные.

3. Приводим подобные слагаемые и получаем неполное квадратное уравнение.

4. Для решения неполного квадратного уравнения вида \(ax^2 + bx = 0\) при \(b\neq 0\) раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение:

\(x(ax + b) = 0\).

Произведение \(x(ax + b)\) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

\(x = 0\) или \(ax + b = 0\).

Решая уравнение \(ax + b = 0\), находим

\(x = -\frac{b}{a}\).

То есть уравнение \(ax^2 + bx = 0\) всегда имеет два корня:

\(x = 0\) и \(x = -\frac{b}{a}\).

5. Для решения неполного квадратного уравнения \(ax^2 + c = 0\) при \(c\neq0\) переносят свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на \(а\). Получают уравнение \(x^2 = -\frac{c}{a}\).

Если \(-\frac{c}{a} > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 = -\sqrt{-\frac{c}{a}}\)  и  \(x_2 = \sqrt{-\frac{c}{a}}\).

Если \(-\frac{c}{a} < 0\), то уравнение не имеет корней.

а) \( x^{16} = 2 \)

Ответ: 2 решения.

б) \( x^{34} = 0 \)

Ответ: 1 решение.

в) \( x^8 = -3 \)

Ответ: решений нет.

г) \( x^{21} = -7 \)

Ответ: 1 решение.

Пояснения:

По рисунку 38 (чётная степень):

График \( y = x^{2n} \):

— расположен выше оси \( x \);

— симметричен относительно оси \( y \);

— принимает только неотрицательные значения.

Вывод:

Если горизонтальная прямая \( y = a \):

— \( a > 0 \) → 2 точки пересечения → 2 решения;

— \( a = 0 \) → 1 точка → 1 решение;

— \( a < 0 \) → нет пересечений → 0 решений.

По рисунку 40 (нечётная степень):

График \( y = x^{2n+1} \):

— проходит через начало координат;

— возрастает;

— принимает любые значения.

Вывод:

Любая прямая \( y = a \) пересекает график ровно один раз → 1 решение.