Упражнение 1116 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y = f(x)\)

\(f(x) = -0{,}7x + 350\)

\( -0{,}7x + 350 = 0 \)

\(-0{,}7x = -350 \)

\(x = \frac{-350}{-0,7}\)

\(x = \frac{3500}{7}\)

\(x = 500 \)

\(k = -0{,}7 < 0\) - функция убывает, поэтому

— \(y > 0\) при \(x < 500\);

— \(y = 0\) при \(x = 500\);

— \(y < 0\) при \(x > 500\).

б) \(y = f(x)\)

\(f(x) = 30x + 10\)

\(30x + 10 = 0 \)

\(30x = -10 \)

\(x =-\frac{10}{30}\)

\(x = -\frac{1}{3} \)

\(k = 30 > 0\) - функция возрастает, поэтому:

— \(y < 0\) при \(x < -\frac{1}{3}\);

— \(y = 0\) при \(x = -\frac{1}{3}\);

— \(y > 0\) при \(x > -\frac{1}{3}\).

Пояснения:

Функцию, которую можно задать формулой вида \(y = kx + b\), \(k\) и \(b\) - некоторые числа, \(x\) - независимая переменная, называют линейной. Графиком линейной функции является прямая. График строят по двум точкам, так как прямая однозначно задается двумя точками.

1. Функция определена при любых значениях переменной \(x\), т.е.

\(D(y) = R\).

2. Значение функции может быть любое число, т.е. \(E(y) = R\).

3. Функция обращается в нуль при \(x = -\frac{b}{k}\).

Это свойство вытекает из решения уравнения \(kx + b = 0\), откуда получаем \(kx = -b\), тогда \(x = -\frac{b}{k}\).

4. При \(k > 0\) функция принимает отрицательные значения на промежутке \((-\infty; -\frac{b}{k})\) и положительные значения на промежутке \((-\frac{b}{k}; +\infty)\).

При \(k < 0\) функция принимает отрицательные значения на промежутке \((-\frac{b}{k}; +\infty)\) и положительные значения на промежутке \((-\infty; -\frac{b}{k})\).

5. При \(k>0\) функция \(y = kx + b\) является возрастающей, а при \(k < 0\) - убывающей.

\( y=\sqrt{12+2\sqrt{35+2x-x^{2}}}-\sqrt{12-2\sqrt{35+2x-x^{2}}}\)

\( y^2=\left(\sqrt{12+2\sqrt{35+2x-x^{2}}}-\sqrt{12-2\sqrt{35+2x-x^{2}}}\right)^2\)

\( y^2=\left(\sqrt{12+2\sqrt{35+2x-x^{2}}}\right)^2-2\sqrt{12+2\sqrt{35+2x-x^{2}}}\cdot\sqrt{12-2\sqrt{35+2x-x^{2}}}+\left(\sqrt{12-2\sqrt{35+2x-x^{2}}}\right)^2\)

\( y^2=12+\cancel{2\sqrt{35+2x-x^{2}}}-2\sqrt{(12+2\sqrt{35+2x-x^{2}})\cdot(12-2\sqrt{35+2x-x^{2}})}+2-\cancel{2\sqrt{35+2x-x^{2}}}\)

\( y^2=24 - 2\sqrt{(12^2-\left(2\sqrt{35+2x-x^{2}}\right)^2}\)

\( y^2=24 - 2\sqrt{144-4\cdot(35+2x-x^{2})}\)

\( y^2=24 - 2\sqrt{144-140-8x+4x^{2}}\)

\( y^2=24 - 2\sqrt{4-8x+4x^{2}}\)

\( y^2=24 - 2\sqrt{4(1-2x+x^{2})}\)

\( y^2=24 - 2\cdot2\sqrt{(x^{2}-1)^2}\)

\( y^2=24 - 4|x-1|\)

\( y^2=4(6 - |x-1|)\)

\(y \ge 0\)

\( y=\sqrt{4(6 - |x-1|)}\)

\( y=2\sqrt{6 - |x-1|}\)

1) Если \(x - 1 \ge 0\), то есть \(x\ge1\), то

\( y=2\sqrt{6 - (x-1)} =\)

\(=2\sqrt{6 - x +1}=2\sqrt{7-x}\)

Если \(x = 3\), то

\(y=2\sqrt{7-3} = 2\sqrt4 = 2\cdot2=4\) - целое число.

Если \(x = 6\), то

\(y=2\sqrt{7-6} = 2\sqrt1 = 2\cdot1=2\) - целое число.

Если \(x = 7\), то

\(y=2\sqrt{7-7} = 2\sqrt0 =0\) - целое число.

2) Если \(x - 1 < 0\), то есть \(x<1\), то

\( y=2\sqrt{6 + (x-1)} =\)

\(=2\sqrt{6 + x -1}=2\sqrt{5+x}\)

Если \(x = -1\), то

\(y=2\sqrt{5+(-1)} = 2\sqrt4=2\cdot2 = 4\) - целое число.

Если \(x = -4\), то

\(y=2\sqrt{5+(-4)} = 2\sqrt1=2\cdot1 = 2\) - целое число.

Если \(x = -5\), то

\(y=2\sqrt{5+(-5)} = 2\sqrt0=0\) - целое число.

Ответ: \(0;  2;  4\).

Пояснения:

Левую и правую части функции возводим в квадрат, учитывая то, что \(y\ge0\), так как

\(\sqrt{12+2\sqrt{35+2x-x^{2}}} \ge \sqrt{12-2\sqrt{35+2x-x^{2}}}\)

При выполнении преобразований использованы следующие приемы и формулы:

- свойства арифметического квадратного корня:

\((\sqrt a)^2 = a\);

\(\sqrt a\cdot\sqrt b = \sqrt{ab}\);

\(\sqrt{a^2} = |a|\);

- квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);

- разность квадратов двух выражений:

\((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\);

- свойства модуля:

\(|a| = a\), при \(a \ge0\),

\(|a| = -a\), при \(a < 0\).

После преобразований получили

\( y=2\sqrt{6 - |x-1|}\).

Далее рассмотрели два случая:

\(x - 1 \ge 0\)  и  \(x - 1 < 0\).

В каждом случае подобрали такие целые значения \(x\), при которых \(y\) - целое число.