Упражнение 1118 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(f(x) = 13x - 78\)

а) \( 13x - 78 = 0 \)

\(13x = 78 \)

\(x = \frac{78}{13}\)

\(x = 6 \)

б) \(f(x) > 0\), при \(x \in (6; +\infty)\).

в) \(f(x) < 0\), при \(x \in(-\infty; 6)\).

Функция возрастающая, так как

\(k = 13 > 0\).

Ответ: а) при \(x = 6;\)

б) при \(x \in (6; +\infty);\)

в) при \(x \in(-\infty; 6);\)

функция является возрастающей.

Пояснения:

Функцию, которую можно задать формулой вида \(y = kx + b\), \(k\) и \(b\) - некоторые числа, \(x\) - независимая переменная, называют линейной. Графиком линейной функции является прямая.

1. Функция определена при любых значениях переменной \(x\), т.е.

\(D(y) = R\).

2. Значение функции может быть любое число, т.е. \(E(y) = R\).

3. Функция обращается в нуль при \(x = -\frac{b}{k}\).

Это свойство вытекает из решения уравнения \(kx + b = 0\), откуда получаем \(kx = -b\), тогда \(x = -\frac{b}{k}\).

4. При \(k > 0\) функция принимает отрицательные значения на промежутке \((-\infty; -\frac{b}{k})\) и положительные значения на промежутке \((-\frac{b}{k}; +\infty)\).

При \(k < 0\) функция принимает отрицательные значения на промежутке \((-\frac{b}{k}; +\infty)\) и положительные значения на промежутке \((-\infty; -\frac{b}{k})\).

5. При \(k>0\) функция \(y = kx + b\) является возрастающей, а при \(k < 0\) - убывающей.

\( \frac{\left(p^{2}-\frac{1}{q^{2}}\right)^{p}\left(p-\frac{1}{q}\right)^{q-p}} {\left(q^{2}-\frac{1}{p^{2}}\right)^{q}\left(q+\frac{1}{p}\right)^{p-q}}=\)

\(= \frac{\bigl((p-\frac{1}{q})(p+\frac{1}{q})\bigr)^{p}\,(p-\frac{1}{q})^{\,q-p}} {\bigl((q-\frac{1}{p})(q+\frac{1}{p})\bigr)^{q}\,(q+\frac{1}{p})^{\,p-q}}=\)

\(= \frac{(p-\frac{1}{q})^p(p+\frac{1}{q})^{p}\,(p-\frac{1}{q})^{\,q-p}} {(q-\frac{1}{p})^q(q+\frac{1}{p})^{q}\,(q+\frac{1}{p})^{\,p-q}}=\)

\(= \frac{(p-\frac{1}{q})^{p+q-p}(p+\frac{1}{q})^{p}} {(q-\frac{1}{p})^q(q+\frac{1}{p})^{q+p-q}}=\)

\(= \frac{(p ^{\color{blue}{\backslash q}} -\frac{1}{q})^{q}(p ^{\color{blue}{\backslash q}} +\frac{1}{q})^{p}} {(q ^{\color{blue}{\backslash p}} -\frac{1}{p})^q(q ^{\color{blue}{\backslash p}} +\frac{1}{p})^{p}}=\)

\(= \frac{(\frac{pq-1}{q})^{q}(\frac{pq+1}{q})^{p}} {(\frac{pq-1}{p})^q(\frac{pq+1}{p})^{p}}=\)

\(=(\frac{pq-1}{q} : \frac{pq-1}{p})^{q}\cdot(\frac{pq+1}{q} : \frac{pq+1}{p})^{p}=\)

\(=(\frac{\cancel{pq-1}}{q} \cdot \frac{p}{\cancel{pq-1}})^{q}\cdot(\frac{\cancel{pq+1}}{q} \cdot \frac{p}{\cancel{pq+1}})^{p}=\)

\(=(\frac{p}{q})^q\cdot(\frac{p}{q})^p = (\frac{p}{q})^{q+p}\).

Допустимые значения переменных:

\( \begin{cases} p\ne 0,\\ q\ne 0,\\ q-\frac{1}{p}\ne 0,\\ q+\frac{1}{p}\ne 0. \end{cases} \)

\( \begin{cases} p\ne 0,\\ q\ne 0,\\ q\ne\frac{1}{p},\\ q\ne-\frac{1}{p}. \end{cases} \)

\( \begin{cases} p\ne 0,\\ q\ne 0,\\ pq\ne1,\\ pq\ne-1. \end{cases} \)

Пояснения:

Сначала при выполнении преобразований для выражений \(p^{2}-\frac{1}{q^{2}}\) и \(q^{2}-\frac{1}{p^{2}}\) используем формулу разности квадратов, согласно которой:

\(p^{2}-\frac{1}{q^{2}} = (p-\frac{1}{q})(p+\frac{1}{q})\),

\(q^{2}-\frac{1}{p^{2}} = (q-\frac{1}{p})(q+\frac{1}{p})\),

при этом учли свойство степени, согласно которому:

\(\frac{1}{q^2} = (\frac1q)^2\)  и  \(\frac{1}{p^2} = (\frac1p)^2\).

Далее применяем свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями:

\(a^ma^n = a^{m+n}\), получаем:

\(\frac{(p-\frac{1}{q})^{q}(p+\frac{1}{q})^{p}} {(q-\frac{1}{p})^q(q+\frac{1}{p})^{p}}\).

Затем в каждой скобке приводим дроби к общему знаменателю, получаем:

\(\frac{(\frac{pq-1}{q})^{q}(\frac{pq+1}{q})^{p}} {(\frac{pq-1}{p})^q(\frac{pq+1}{p})^{p}}\).

Применив свойство степени:

\(\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n = (a : b)^n\), имеем:

\((\frac{pq-1}{q} : \frac{pq-1}{p})^{q}\cdot(\frac{pq+1}{q} : \frac{pq+1}{p})^{p}\).

Выполнив деление в скобках, получаем:

\((\frac{p}{q})^q\cdot(\frac{p}{q})^p\).

Откуда по свойству умножения степеней с одинаковыми основаниями, имеем:

\((\frac{p}{q})^{q+p}\).

При определении допустимых значений переменных, учитываем то, что все знаменатели должны быть отличны от нуля.