Упражнение 1114 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y = 1{,}5x - 3\)

Свойства функции:

1) \(D(y) = R\)

2) \(E(y) = R\)

3) \(y = 0\) при \(x = 2\)

4) \(y < 0\) при \(x < 2\),

\(y > 0\) при \(x > 2\)

5) Функция возрастает, так как

\(k = 1,5 > 0\).

б) \(y = -0{,}6x + 5\)

Свойства функции:

1) \(D(y) = R\)

2) \(E(y) = R\)

3) \(y = 0\) при

\(-0{,}6x + 5 = 0\)

\(-0{,}6x = -5\)

\(x = \frac{5}{0,6}\)

\(x = \frac{50}{6}\)

\(x = \frac{25}{3}\)

\(x =8\frac13\)

4) \(y < 0\) при \(x > 8\frac13\),

\(y > 0\) при \(x < 8\frac13\)

5) Функция убывает, так как

\(k = -0,6 < 0\).

Пояснения:

Функцию, которую можно задать формулой вида \(y = kx + b\), \(k\) и \(b\) - некоторые числа, \(x\) - независимая переменная, называют линейной. Графиком линейной функции является прямая. График строят по двум точкам, так как прямая однозначно задается двумя точками.

1. Функция определена при любых значениях переменной \(x\), т.е.

\(D(y) = R\).

2. Значение функции может быть любое число, т.е. \(E(y) = R\).

3. Функция обращается в нуль при \(x = -\frac{b}{k}\).

Это свойство вытекает из решения уравнения \(kx + b = 0\), откуда получаем \(kx = -b\), тогда \(x = -\frac{b}{k}\).

4. При \(k > 0\) функция принимает отрицательные значения на промежутке \((-\infty; -\frac{b}{k})\) и положительные значения на промежутке \((-\frac{b}{k}; +\infty)\).

При \(k < 0\) функция принимает отрицательные значения на промежутке \((-\frac{b}{k}; +\infty)\) и положительные значения на промежутке \((-\infty; -\frac{b}{k})\).

5. При \(k>0\) функция \(y = kx + b\) является возрастающей, а при \(k < 0\) - убывающей.

Пусть \(x_1, x_2, x_3\) такие, что сумма

\( \dfrac{x_1}{x_1+1}+\dfrac{x_2}{x_2+1}+\dfrac{x_3}{x_3+1} \) - натуральное число.

\(\dfrac{x_1}{x_1+1} < 1\),  \(\dfrac{x_2}{x_2+1} < 1\),

\(\dfrac{x_3}{x_3+1} < 1\), так как дроби обыкновенные, значит

\( \dfrac{x_1}{x_1+1}+\dfrac{x_2}{x_2+1}+\dfrac{x_3}{x_3+1} < 3\)

Если \(x_1 = 1\), то \(\dfrac{x_1}{x_1+1} = \dfrac12,\)

Если \(x_1 = 2\), то \(\dfrac{x_1}{x_1+1} = \dfrac23.\)

\(\dfrac23 > \dfrac12\), значит, \(\dfrac{x_1}{x_1+1} > \dfrac12.\)

Аналогично,

\(\dfrac{x_2}{x_2+1} > \dfrac12\)  и  \(\dfrac{x_3}{x_3+1} >\dfrac12\).

Тогда

\( \dfrac{x_1}{x_1+1}+\dfrac{x_2}{x_2+1}+\dfrac{x_3}{x_3+1} > \dfrac12 + \dfrac12 + \dfrac12\)

\( \dfrac{x_1}{x_1+1}+\dfrac{x_2}{x_2+1}+\dfrac{x_3}{x_3+1} > \dfrac32\)

Получаем:

\( \dfrac32 < \dfrac{x_1}{x_1+1}+\dfrac{x_2}{x_2+1}+\dfrac{x_3}{x_3+1} < 3\)

Следовательно,

\(\dfrac{x_1}{x_1+1}+\dfrac{x_2}{x_2+1}+\dfrac{x_3}{x_3+1} = 2\) - натуральное число.

Пусть \(x_1 = 1\),  \(x_2 = 2\)

\(\dfrac{1}{1+1}+\dfrac{2}{2+1}+\dfrac{x_3}{x_3+1} = 2\)

\(\dfrac{1}{2} ^{\color{blue}{\backslash3}} +\dfrac{2}{3} ^{\color{blue}{\backslash2}} +\dfrac{x_3}{x_3+1} = 2\)

\(\dfrac{3}{6} +\dfrac{4}{6} +\dfrac{x_3}{x_3+1} = 2\)

\(\dfrac{7}{6} + \dfrac{x_3}{x_3+1} = 2\)

\(\dfrac{x_3}{x_3+1} = 2 ^{\color{blue}{\backslash6}} - \dfrac{7}{6}\)

\(\dfrac{x_3}{x_3+1} = \dfrac{12}{6} - \dfrac{7}{6}\)

\(\dfrac{x_3}{x_3+1} = \dfrac{5}{6}\) при \(x_3 = 5\)

Ответ: \(\dfrac{1}{2};  \dfrac{2}{3};   \dfrac{5}{6}\).

Пояснения:

При решении используем то, что если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.