Упражнение 853 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \)

\( \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \leq \left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\right)^2\)

\( \frac{(a+b)^2}{4} \leq \frac{a^2+b^2}{2} \)

\( \frac{(a+b)^2}{4} - \frac{a^2+b^2}{2} ^{\color{blue}{\backslash2}} = \)

\( =\frac{(a+b)^2-2(a^2+ b^2)}{4}=\)

\( =\frac{a^2 +2ab+b^2-2a^2-2b^2}{4}=\)

\( =\frac{-a^2 +2ab-b^2}{4}=\)

\( =\frac{-(a^2 -2ab+b^2)}{4}=\)

\( =-\frac{(a-b)^2}{4}\leq 0\) - верно при любых \(a, b\).

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Чтобы доказать неравенство, учитывая то, что обе части неравенства принимают неотрицательные значения, возводим обе части неравенства в квадрат. Затем из левой части неравенства вычитаем его правую часть и получаем:

\(-\frac{(a-b)^2}{4}\).

Если \(a - b \leq 0\), то \(a \leq b\).

Учитывая то, что \((a-b)^2 \geq 0\), получим:

\( -\frac{(a-b)^2}{4}\leq 0\), значит,

\( \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \leq \left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\right)^2\),

следовательно, и

\( \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \).

а) \(\dfrac{13x - 1}{2} < 4x \)    \(/\times 2\)

\(13x - 1 < 8x \)

\(13x - 8x < 1\)

\(5x < 1 \)   \(/ :5\)

\(x < \dfrac{1}{5}\)

\(x < 0,2\)

Ответ: при \((-\infty; 0,2)\).

б) \(\dfrac{5 - 2a}{4} \geq 2a \)

\(5 - 2a \geq 8a \)

\(5 \geq 10a\)

\(a \leq \dfrac{1}{2}\)

\(a \leq 0,5\)

Ответ: при \((-\infty; 0,5]\).

в) \(\dfrac{x}{4} - \dfrac{x}{5} \leq 2 \)    \(/\times 20\)

\(5x-4x \leq 40 \)

\(x \leq 40\)

Ответ: при \((-\infty; 40]\).

г) \(\dfrac{2y}{5} - \dfrac{y}{2} \geq 1 \)    \(/\times 10\)

\(\dfrac{4y - 5y}{10} \geq 1 \)

\(4y-5y\geq 10 \)

\(-y \geq 10 \)   \(/ : (-1)\)

\(y \leq -10\).

Ответ: при \((-\infty; -10]\).

Пояснения:

Сначала в каждом неравенстве избавляемся от знаменателей, домножив неравенство на знаменатель дроби, входящей в него, или на общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, учитывая то, что если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.