Упражнение 849 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{c^2+1}{2} \geq c\)

\( \frac{c^2+1}{2} - c ^{\color{blue}{\backslash2}} = \frac{c^2+1-2c}{2} =\)

\( = \frac{c^2-2c+1}{2}=\frac{(c-1)^2}{2}\)

\((c-1)^2 \geq 0\) при любом \(c\), тогда

\( \frac{c^2+1}{2} - c \geq 0\)  и  \(\frac{c^2+1}{2} \geq c\).

б) \(\dfrac{c}{c^2+1} \leq \dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{c}{c^2+1} ^{\color{blue}{\backslash2}} - \dfrac{1}{2} ^{\color{blue}{\backslash c^2+1}}= \)

\(=\dfrac{2c-(c^2 + 1)}{2(c^2+1)}=\dfrac{2c-c^2 - 1}{2(c^2+1)}=\)

\(=\dfrac{-(c^2 - 2c + 1)}{2(c^2+1)}=-\frac{(c-1)^2}{2(c^2 + 1)}\)

\((c-1)^2 \geq 0\)  и  \(2(c^2+1) > 0\) при любом \(c\), тогда

\(\dfrac{c}{c^2+1} - \dfrac{1}{2} \leq0\) и \(\dfrac{c}{c^2+1} \leq \dfrac{1}{2}\)

Пояснения:

Чтобы выполнить доказательство, нашли значение разности левой и правой частей рассматриваемых неравенств.

а) Разность равна \(\frac{(c-1)^2}{2}\).

\((c-1)^2 \geq 0\) при любом \(c\), тогда

\(\frac{(c-1)^2}{2}\geq 0\), то есть \( \frac{c^2+1}{2} - c \geq 0\), а известно, что если \(a - b \geq 0\), то \(a \geq b\), тогда неравенство \(\frac{c^2+1}{2} \geq c\) верно для любого значения \(c\).

б) Разность равна \(-\frac{(c-1)^2}{2(c^2 + 1)}\).

\((c-1)^2 \geq 0\)  и  \(2(c^2+1) > 0\) при любом \(c\), тогда \(-\frac{(c-1)^2}{2(c^2 + 1)}\leq0\), то есть \(\dfrac{c}{c^2+1} - \dfrac{1}{2} \leq0\), а известно, что если \(a - b \geq 0\), то \(a \geq b\), тогда неравенство \(\dfrac{c}{c^2+1} \leq \dfrac{1}{2}\) верно для любого значения \(c\).

а) \(\dfrac{2x}{5} > 1 \)   \(/\times 5\)

\(2x > 5 \)    \(/ : 2\)

\(x > \dfrac{5}{2}\).

\(x > 2,5\)

Ответ: \((2,5; +\infty)\).

б) \(\dfrac{x}{3} < 2 \)    \(/\times 3\)

\(x < 6\).

Ответ: \((-\infty; 6)\).

в) \(\dfrac{6x}{7} \geq 0\)    \(/\times 7\)

\(6x \geq 0\)     \(/ : 6\)

\(x \geq 0\)

Ответ: \([0; +\infty)\).

г) \(\dfrac{3x - 1}{4} > 2\)    \(/\times 4\)

\(3x - 1 > 8 \)

\(3x > 8 + 1 \)

\(3x > 9\)    \(/ : 3\)

\(x > 3\).

Ответ: \((3; +\infty)\).

д) \(2 > \dfrac{6 - x}{5} \)   \(/\times 5\)

\(10 > 6 - x \)

\(x > 6 - 10\)

\(x > -4\).

Ответ: \((-4; +\infty)\).

е) \(\dfrac{2 + 3x}{18} < 0 \)   \(/\times 18\)

\(2 + 3x < 0 \)

\(3x < -2\)    \(/ : 3\)

\(x < -\dfrac{2}{3}\).

Ответ: \((-\infty; -\dfrac{2}{3})\).

ж) \(\dfrac{12 - 7x}{42} \geq 0 \)   \(/\times 42\)

\(12 - 7x \geq 0\)

\(-7x \geq -12\)    \(/ : (-7)\)

\(x \leq \dfrac{12}{7}\)

\(x \leq 1\dfrac{5}{7}\)

Ответ: \((-\infty; 1\dfrac{5}{7}]\).

з) \(\dfrac{1}{3}(x + 15) > 4 \)   \(/\times 3\)

\(x + 15 > 12 \)

\(x > 12 - 15 \)

\(x > -3\).

Ответ: \((-3; +\infty)\).

и) \(6 \leq \dfrac{2}{7}(x + 4) \)  \(/\times 7\)

\(42 \leq 2(x + 4) \)

\(42 \leq 2x + 8 \)

\(34 \leq 2x \)    \( / : 2\)

\(17 \leq x\)

\(x \geq 17\).

Ответ: \([17; +\infty)\).

Пояснения:

Сначала в каждом неравенстве избавляемся от знаменателей, домножив неравенство на знаменатель дроби, входящей в него, учитывая то, что если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.