Упражнение 830 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть второй слесарь выполняет заказ за \(x\) ч, тогда его производительность: \(\frac{1}{x}\). Первый слесарь выполняет заказ за \(x+5\) ч, то его производительность: \(\frac{1}{x+5}\). За первый час первый слесарь сделал: \(\frac{1}{x+5}\). За следующие 4 ч они вместе сделали: \(4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}\right)\). Известно, что всего выполнено 40% заказа.

\(40\) % = \(0,4\)

Составим уравнение:

\(\frac{1}{x+5} + 4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}\right) = 0,4\)

\(\frac{1}{x+5} + \frac{4}{x}+\frac{4}{x+5} = \frac{4}{10}\)

\(\frac{5}{x+5} + \frac{4}{x} = \frac25\) \(/\times 5x(x+5)\)

\(25x +20(x+5) = 2x(x + 5)\)

\(25x + 20x + 100 = 2x^2 + 10x \)

\(45x + 100 = 2x^2 + 10x\)

\(2x^2 + 10x - 45x -100 = 0\)

\(2x^2 -35x - 100 = 0\)

\(a = 2\),  \(b = -35\),  \(c = -100\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(= (-35)^2 - 4\cdot 2 \cdot (-100) =\)

\(=1225 + 800 = 2025\),   \(\sqrt{D} = 45\).

\(x_1 = \frac{-(-35) + 45}{2\cdot2} =\frac{80}{4} = 20\)

\(x_2 = \frac{-(-35) - 45}{2\cdot2} =\frac{-10}{4} = -2,5\) - не удовлетворяет условию.

1) За \(20\) ч второй слесарь может выполнить заказ.

2)  \(20+5=25\) (ч) - за это время первый слесарь может выполнить заказ.

Ответ: первый слесарь — за 25 ч, второй слесарь — за 20 ч.

Пояснения:

Обозначили время, за которое второй слесарь выполняет заказ за \(x\) ч, тогда время, за которое заказа выполняет первый слесарь составляет \(x+5\) ч. Записали производительность каждого: \(\frac{1}{x}\) и \(\frac{1}{x+5}\).

За 1 час первый сделал \(\frac{1}{x+5}\), за следующие 4 часа оба сделали

\(4(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5})\).

Учитывая то, что за все время было выполнено 40% заказа, составили дробное рациональное уравнение:

\(\frac{1}{x+5} + 4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}\right) = 0,4\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как выполнили преобразования и домножили обе части уравнения на общий знаменатель, получили полное квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D=b^2-4ac > 0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(x_1 = 20\) и \(x_2 = -2,5 \). Но отрицательный корень не подходит, так как время не может быть отрицательным числом. Значит, второй слесарь выполнит заказ один за \(20\) ч, а первый за \(25\) ч, так как первому требуется по условию на 5 ч больше, чем второму.

\(a^2 + 5 > 2a\)

\(a^2 + 5 - 2a > 0\)

\(a^2 - 2a + 5 > 0\)

\((a^2 - 2a +1) + 4 > 0\)

\((a - 1)^2 + 4 > 0\) при любом \(a\).

Пояснения:

При доказательстве учитываем то, что:

- если \(a - b > 0\), то \(a > b\),

- квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab +b^2\),

- квадрат любого числа неотрицателен.