Упражнение 743 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( (x+2)^2+(x-3)^2=13 \)

\( (x^2+4x+4)+(x^2-6x+9)=13 \)

\( x^2+4x+4+x^2-6x+9-13=0 \)

 \( 2x^2-2x=0 \)

 \( 2x(x-1)=0 \)

\(x=0 \)   или   \( x-1=0 \)

                       \( x=1 \)

Ответ: \(x = 0\) или \(x = 1\).

б) \( (3x-5)^2-(2x+1)^2=24 \)

\( (9x^2-30x+25)-(4x^2+4x+1)=24 \)

\( 9x^2-30x+25-4x^2-4x-1-24=0 \)

\( 5x^2-34x=0 \)

\([ x(5x-34)=0 \)

\( x=0 \)   или   \(5x - 34 = 0\)

                       \(5x = 34\)

                       \( x=\frac{34}{5} \)

                       \( x=6,8 \)

Ответ: \(x = 0\) или \(x = 6,8\).

в) \( (x-4)(x^2+4x+16)+28=x^2(x-25) \)

\( x^3-64+28= x^3-25x^2 \)

\(\cancel{x^3}-36-\cancel{x^3}+25x^2 =0\)

\( 25x^2 -36 = 0\)

\(25x^2 = 36\)

\( x^2=\frac{36}{25} \)

\(x = \pm\sqrt {\frac{36}{25}}\)

\( x=\pm \frac{6}{5} \)

\(x = \pm1,2\)

Ответ: \(x = \pm1,2\).

г) \( (2x+1)(4x^2-2x+1)-1=1,6x^2(5x-2) \)

\((2x+1)^3 - 1 = 8x^3 -3,2x^2\)

\(\cancel{8x^3} + 1 - 1 - \cancel{8x^3} + 3,2x^2 = 0\)

\(3,2x^2 = 0\)

\(x = 0\)

Ответ: \(x = 0\).

Пояснения:

Каждое уравнение решалось через раскрытие скобок, приведение подобных членов и упрощение.

Использованные приемы и формулы:

- Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

- Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

- Сумма кубов двух выражений:

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 -ab +b^2\).

- Разность кубов двух выражений:

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 +ab +b^2\).

- Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + bc).

- Свойства степени:

\((ab)^n = a^nb^n\);

\(a^m\cdot a^n = a^{m + n}\).

- Вынесение общего множителя за скобки:

\(ax + bx = (a + b)x\).

После преобразований в пунктах а) и б) получилось неполное квадратное уравнение вида \(ax^2+bx=0\), которое решается разложением на множители, учитывая то, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. При этом один из корней равен нулю, а второй находится решением линейного уравнения вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{a}{b}\).

После преобразований в пункте в) получилось неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 = b\), откуда при \(a\neq0\) имеем \(x^2 = \frac{b}{a}\), тогда

\(x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{b}{a}}\).

После преобразований в пункте г) получилось неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 = 0\), откуда при \(a\neq0\) имеем \(x=0\).

\(\frac{x^2 - 6x + 3}{x+2}=\)

\(=\frac{(x^2 - 6x + 9) - 6}{x+2}=\)

\(=\frac{(x-3)^2 - 6}{x+2}\)

Если \(x = -\frac{1}{3}\), то

\(\frac{(-\frac13-3)^2 - 6}{-\frac13+2}=\frac{(-3\frac13)^2 - 6}{1\frac23}=\)

\(=\frac{(-\frac{10}{3})^2 - 6}{\frac53}=\frac{\frac{100}{9} - 6 ^{\color{blue}{\backslash9}} }{\frac53}=\)

\(=\frac{\frac{100-54}{9} }{\frac53}=\frac{\frac{46}{9} }{\frac53}=\frac{46}{9} : \frac53=\)

\(=\frac{46}{\cancel9_3} \cdot \frac{\cancel3}{5}=\frac{46}{15} = 3\frac{1}{15}\)

Пояснения:

Чтобы вычисления были проще, в числителе дроби выделяем квадрат двучлена, согласно формуле разности квадратов двух выражений:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Затем, чтобы найти значение выражения при конкретном \(x\), нужно подставить это значение в выражение и выполнить вычисления.