Упражнение 739 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( x^2-ax+a-3=0 \)

Пусть корни уравнения: \(x_1\) и \(x_2\).

По формулам Виета:

\(x_1+x_2=a\) и \( x_1x_2=a-3 \)

\( x_1^2+x_2^2= x_1^2 +2x_1x_2+x_2^2 - 2x_1x_2 =\)

\(=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\)

\(=a^2-2(a-3)=\)

\(=a^2-2a+6 = \)

\(=a^2 - 2a + 1 + 5 =\)

\(=(a + 1)^2 + 5\) - при \(a = 1\) значение квадратов корней будет наименьшим и равно \(5\).

Ответ: при \(a=1\) сумма квадратов корней наименьшая и равна 5.

Пояснения:

Мы использовали теорему Виета, чтобы выразить сумму квадратов корней через коэффициенты уравнения.

При преобразованиях учитывали то, что значение выражения не изменится, если к нему прибавить и вычесть одно и то же выражение, также использовали формулу квадрата суммы:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

\( \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \)

\( \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \leq \left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\right)^2\)

\( \frac{(a+b)^2}{4} \leq \frac{a^2+b^2}{2} \)

\( \frac{(a+b)^2}{4} - \frac{a^2+b^2}{2} ^{\color{blue}{\backslash2}} = \)

\( =\frac{(a+b)^2-2(a^2+ b^2)}{4}=\)

\( =\frac{a^2 +2ab+b^2-2a^2-2b^2}{4}=\)

\( =\frac{-a^2 +2ab-b^2}{4}=\)

\( =\frac{-(a^2 -2ab+b^2)}{4}=\)

\( =-\frac{(a-b)^2}{4}\leq 0\) - верно при любых \(a, b\).

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Чтобы доказать неравенство, учитывая то, что обе части неравенства принимают неотрицательные значения, возводим обе части неравенства в квадрат. Затем из левой части неравенства вычитаем его правую часть и получаем:

\(-\frac{(a-b)^2}{4}\).

Если \(a - b \leq 0\), то \(a \leq b\).

Учитывая то, что \((a-b)^2 \geq 0\), получим:

\( -\frac{(a-b)^2}{4}\leq 0\), значит,

\( \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \leq \left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\right)^2\),

следовательно, и

\( \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \).