Упражнение 720 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть первое число \(x\), а второе число \(y\).

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x+3y=10, \\ x-3y=2 \end{cases} \)   \((+)\)

\( \begin{cases} 2x=12, \\ x-3y=2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=\frac{12}{2}, \\ 3y=x-2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=6, \\ 3y=6-2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=6, \\ 3y=4 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=6, \\ y=\frac43 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=6, \\ y=1\frac13 \end{cases} \)

Число \(1\frac{1}{3}\) не является натуральным числом.

Ответ: таких натуральных чисел не существует.

Пояснения:

Мы составили систему из двух уравнений по условию: первое описывает сумму, второе — разность. Решили систему уравнений способом сложения.

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом сложения:

1) подобрав "выгодные" множители (если это необходимо), преобразовать одно или оба уравнения системы так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

2) сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге;

3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;

4) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;

5) вычислить значение другой переменной.

Пусть за \(x\) дней два комбайна вместе уберут всё поле. Тогда первый комбайн уберет поле один за \(x+9\) дней, второй комбайн уберет поле один за \(x+4\) дня.

Совместная производительность: \(\frac{1}{x}\),

производительность первого - \(\frac{1}{x+9}\),

производительность второго - \(\frac{1}{x+4}\).

Составим уравнение:

\(\frac{1}{x} = \frac{1}{x+9} + \frac{1}{x+4}\)   \(/\times x(x+9)(x+ 4)\)

ОДЗ:

\(x\neq0\) и \(x + 9\neq 0\) и \(x + 4\neq 0\)

               \(x\neq-9\)        \(x\neq-4\)

\((x+9)(x+4)=x(x+4)+x(x+9)\)

\(x^2 + 4x + 9x + 36 = x^2 + 4x + x^2 + 9x\)

\(x^2 + 13x+36=2x^2 + 13x\)

\(x^2 +13x + 36 -2x^2 - 13 x=0\)

\(-x^2 + 36 = 0\)

\(x^2 = 36\)

\(x = \pm\sqrt{36}\)

\(x_1 = 6\),   

\(x_2 = -6\) - не удовлетворяет условию.

1) За \(6\) дней соберут хлопок два комбайна вместе.

2) \(6 + 9 = 15\) (дней) - соберет хлопок один первый комбайн.

3) \(6 + 4 = 10\) (дней) - соберет хлопок один второй комбайн.

Ответ: первый комбайн — за 15 дней, второй комбайн — за 10 дней.

Пояснения:

Ввели \(x\) — время совместной работы двух комбайнов. Первый работает дольше на 9 дней, второй — на 4 дня. Тогда первый комбайн уберет поле один за \(x+9\) дней, второй комбайн уберет поле один за \(x+4\) дня.

Составили дробное рациональное уравнение через производительности:

\(\frac{1}{x} = \frac{1}{x+9} + \frac{1}{x+4}\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили неполное квадратное уравнение вида \(x^2 = 36\), которое имеет два корня: \(x_1 = \sqrt {36} = 6\) и \(x_2 = -\sqrt {36} = -6\). Но отрицательный корень не подходит, так как время не может быть отрицательным числом. Значит, два комбайна вместе уберут всё поле за 6 дней. Тогда первый комбайн уберет поле один за \(6+9 = 15\) дней, а второй комбайн уберет поле один за \(6+4 = 10\) дней.