Упражнение 701 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{c - 1}{12c} + \dfrac{2c + 7}{12c} - \dfrac{6 - 3c}{12c}=\)

\(=\dfrac{(c - 1) + (2c + 7) - (6 - 3c)}{12c} =\)

\(=\dfrac{c - 1 + 2c + 7 - 6 + 3c}{12c} = \dfrac{6\cancel{c}}{12\cancel{c}} = \dfrac{1}{2}.\)

б) \(\dfrac{a - 4b}{2ab} - \dfrac{2a - 6b}{2ab} - \dfrac{3a - b}{2ab}=\)

\(=\dfrac{(a - 4b) - (2a - 6b) - (3a - b)}{2ab} =\)

\(=\dfrac{a - 4b - 2a + 6b - 3a + b}{2ab} =\)

\(=\dfrac{3b-4a}{2ab}\).

в) \(\dfrac{17x - 4y}{21xy} + \dfrac{8x + 9y}{21xy} - \dfrac{11x - 16y}{21xy}=\)

\(=\dfrac{(17x - 4y) + (8x + 9y) - (11x - 16y)}{21xy} =\)

\(=\dfrac{17x - 4y + 8x + 9y - 11x + 16y}{21xy} =\)

\(=\dfrac{14x + 21y}{21xy}= \dfrac{\cancel7(2x + 3y)}{_3\cancel{21}xy}=\)

\(=\dfrac{2x + 3y}{3xy}\).

Пояснения:

Правила, которые использовались:

1. При сложении и вычитании дробей с одинаковым знаменателем складываются и вычитаются только числители, знаменатель остаётся тем же:

\( \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c},\)

\( \dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a-b}{c}.\)

2. Раскрытие скобок с минусом:

\(-(a - b) = -a + b\).

3. Приведение подобных членов: складываем коэффициенты при одинаковых буквенных выражениях.

а) Здесь у всех дробей одинаковый знаменатель \(12c\). Складываем числители:

\( (c - 1) + (2c + 7) - (6 - 3c) =\)

\(c - 1 + 2c + 7 - 6 + 3c. \)

После приведения подобных:

\(c+2c+3c=6c\),

числа \(-1+7-6=0\).

Получаем \(\dfrac{6c}{12c} = \dfrac{1}{2}\).

б) Знаменатель общий \(2ab\). Складываем числители:

\( (a - 4b) - (2a - 6b) - (3a - b) =\)

\(=a - 4b - 2a + 6b - 3a + b. \)

Приводим подобные:

\(a - 2a - 3a = -4a\),

\(-4b + 6b + b = 3b\).

Получаем \(\dfrac{3b-4a}{2ab}\).

в) Знаменатель общий \(21xy\). Складываем числители:

\( (17x - 4y) + (8x + 9y) - (11x - 16y) =\)

\(=17x - 4y + 8x + 9y - 11x + 16y. \)

Приводим подобные:

\(17x+8x-11x=14x\),

\(-4y+9y+16y=21y\).

Получаем \(\dfrac{14x+21y}{21xy} = \dfrac{2x+3y}{3xy}\).

Составим уравнение:

\(\frac{400}{x} + \frac{160}{x} + \frac{240}{x-20} = 11\) \(/\times x(x - 20)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(x - 20\neq 0\)

                            \(x\neq20\)

\(400(x-20)+160(x-20) +240x = 11x(x - 20)\)

\(400x -8000 +160x - 3200 +240x = 11x^2 - 220x\)

\(400x -8000 +160x - 3200 +240x - 11x^2 + 220x=0\)

\(-11x^2 +1020x -11 200 = 0\) \(/\times(-1)\)

\(11x^2 - 1020x + 11 200 = 0\)

\(a = 11\),  \(b = -1020\),  \(c = 11 200\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-1020)^2 - 4\cdot11\cdot11200 =\)

\(=1040400 - 492800 = 547600\),

\(\sqrt D = 740\).

\(x_1=\frac{-(1020)+740}{2\cdot11} =\frac{1760}{22} = 80\).

\(x_1=\frac{-(1020)-740}{2\cdot11} =\frac{280}{22} =\)

\(=\frac{140}{11}= 12\frac{8}{11}\) - не удовлетворяет условию.

1) \(80\) (км/ч) - скорость из А в В.

2) \(80 - 20 = 60\) (км/ч)

Ответ: скорость поезда на последнем участке 60 км/ч.

Пояснения:

Время в пути вычисляется по формуле \[t=\frac{S}{v}.\]

Мы обозначили скорость поезда на пути из А в В \(x\) км/ч и по условию задачи составили дробное рациональное уравнение:

\(\frac{400}{x} + \frac{160}{x} + \frac{240}{x-20} = 11\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D = b^2 - 4ac>0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(80\) и \(12\frac{8}{11}\). Но второй корень не подходит, так как скорость на второй части пути из В в А:

\(x - 20 = 12\frac{8}{11} - 20 < 0\), чего не может быть (скорость может принимать только положительные значения).

Значит, из А в В поезд шел со скоростью \(80\) км/ч. Тогда скорость поезда на последнем участке:

\(80 - 20 = 60\) (км/ч).