Упражнение 664 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть второй принтер выполняет работу за \(x\) ч, тогда первый принтер— за \(x+2\) ч. Значит, скорость работы второго принтера \(\frac{1}{x}\), а первого - \(\frac{1}{x+2}\).

Время совместной работы двух принтеров на изготовление деталей

\(2\text{ ч }55\text{ мин}= \dfrac{175}{60}=\dfrac{35}{12}\text{ ч}\).

Составим уравнение:

\( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=1 : \frac{35}{12} \)

\( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}= \frac{12}{35} \)  \(/\times 35x(x + 2)\)

ОДЗ: \(x \neq0\)  и  \( x + 2 \neq0\)

                          \(x \neq -2\)

\(35(x+2) +35x = 12x(x+2)\)

\(35x+70 + 35x = 12x^2 +24x\)

\(70x+70 = 12x^2 +24x\)

\(12x^2 + 24x - 70x - 70 = 0\)

\(12x^2 - 46x - 70 = 0\)   \(/ : 2\)

\(6x^2 - 23x -35 = 0\)

\(a = 6\),  \(b = -23\),  \(c =-35\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-23)^2 - 4\cdot6\cdot(-35)=\)

\(=529+840 =1369\),    \(\sqrt D = 37\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-(-23)+37}{2\cdot6}=\frac{60}{12}=5\).

\( x_2 = \frac{-(-23)-37}{2\cdot6}=\frac{-14}{12}=-\frac76\) - не удовлетворяет условию.

1) \(5\) (ч) - время работы второго принтера.

2) \(5 + 2 = 7\) (ч) - время работы первого принтера.

Ответ: за \(7\) ч.

Пояснения:

Скорость работы равна доле работы за час. При одновременной работе скорости складываются. Поэтому можем составить следующее дробное рациональное уравнение:

\( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=1 : \frac{35}{12} \)

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\(6x^2 - 23x -35 = 0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 5\) и \(x_2 = -\frac76\).

Отрицательный корень не подходит, так как время не может быть отрицательным числом.

Значит, за 5 ч это количество деталей мог бы изготовить второй 3D-принтер.

Первому принтеру требуется на \(2\) ч больше, чем второму, значит, первому принтеру потребуется:

\(5 + 2 = 7\) (ч).

Пусть ширина рамки равна \(x\) см.

Тогда размеры фотокарточки с рамкой:

\((12 + 2x)\) см и \((18 + 2x)\) см.

Площадь всей фигуры равна \(280\) см².

Составим уравнение:

\((12 + 2x)(18 + 2x) = 280\)

\(216 + 24x + 36x + 4x^2 - 280 = 0\)

\(4x^2 + 60x - 64 = 0\)    \(/ : 4\)

\(x^2 + 15x - 16 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 15\),  \(c = -16\)

\( D=b^2 - 4ac=\)

\(=15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) =\)

\(=225 + 64 = 289\),    \(\sqrt D = 17\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1 = \frac{-15 + 17}{2\cdot1} = \frac{2}{2} = 1\)

\(x_2 = \frac{-15 - 17}{2\cdot1} = \frac{-32}{2} = -16\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: ширина рамки равна \(1\) см.

Пояснения:

Для решения задачи мы использовали правило нахождения площади прямоугольника: \[S = a \cdot b,\] где \(a\) и \(b\) — стороны прямоугольника.

Так как рамка одинаковой ширины \(x\), то к каждой стороне карточки прибавляется по \(2x\) (слева и справа, сверху и снизу). Поэтому размеры всей фигуры будут: \[(12 + 2x) \times (18 + 2x).\]

Приравняли эту площадь к известной величине \(280\), получили квадратное уравнение.

Решив его через дискриминант, нашли два корня: \(1\) и \(-16\).

Так как ширина рамки не может быть отрицательной, то правильный ответ: \[x = 1 \text{ см}.\]

Значит, рамка имеет ширину \(1 \text{ см}\).