Упражнение 662 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть в исходном сплаве было \(x\) г серебра.

Составим уравнение:

\(\frac{90}{x+90}\cdot100 =\frac{40}{x+40}\cdot100 + 20\)  \(/\times (x+40)(x + 90)\)

ОДЗ: \(x+40 \neq0\)  и  \( x + 90 \neq0\)

             \(x\neq-40\)             \(x \neq -90\)

\(9000(x+40) = 4000(x +90) + 20(x+40)(x+90)\)

\(9000x + 360 000 = 4000x + 360 000 +20(x^2+90x + 40x + 3600)\)

\(9000x + 360 000 - 4000x - 360 000 = 20(x^2+130x + 3600)\)

\(5000x= 20x^2 +2600x +72000\)

\(20x^2 +2600x-5000x +72 000 = 0\) 

\(20x^2 -2400x +72 000 = 0\)  \( / :20\)

\(x^2 -120x + 3600=0\)

\(a = 1\),  \(b = -120\),  \(c =3600\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-120)^2 - 4\cdot1\cdot3600 =\)

\(=14400-14 400 = 0\)

\(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-120}{2\cdot1} = \frac{120}{2} = 60\)

Ответ: в сплаве было \(60\) г.

Пояснения:

Содержание золота в сплаве в процентах определяется как \(\dfrac{m_{\text{золота}}}{m_{\text{сплава}}}\cdot100\). При добавлении чистого золота количество серебра не меняется, меняются только массы золота и сплава.

В новом сплаве содержание золота возросло на \(20\)%, значит, можем составить следующее дробное рациональное уравнение:

\(\frac{90}{x+90}\cdot100 =\frac{40}{x+40}\cdot100 + 20\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\(x^2 -120x + 3600=0\), у которого дискриминант равен нулю, следовательно, уравнение имеет один корень: \(x = 60\).

Значит, в сплаве было \(60\) г.

Пусть два последовательных натуральных числа:

\( n,\; n+1 \).

Составим уравнение:

\( (n+(n+1))^2=n^2+(n+1)^2+112 \)

\( (2n+1)^2=n^2+n^2+2n+1+112 \)

\( 4n^2+4n+1=2n^2+2n+113 \)

\( 4n^2+4n+1-2n^2-2n-113=0 \)

\( 2n^2+2n-112=0 \)     \(/ : 2\)

\( n^2+n-56=0 \)

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c = -56\)

\( D=b^2 - 4ac=1^2-4\cdot 1\cdot (-56)=\)

\(=1+224=225 \),     \(\sqrt D = 15\).

\(n_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( n_1=\frac{-1+ 15}{2\cdot1}=\frac{14}{2}=7\).

\(n_2=\frac{-1- 15}{2\cdot1}=\frac{-16}{2}=-8 \) - не удовлетворяет условию.

\(7\) - первое число.

\(8\) - второе число.

Ответ: числа: \(7\) и \(8\).

Пояснения:

Вводим обозначения для двух последовательных натуральных чисел и составляем уравнение. Раскрываем скобки по формуле квадрата суммы:

\((a +b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Затем приводим подобные и получаем полное квадратное уравнение, которое имеет два корня. Отрицательный корень не подходит, так как по условию числа должны быть натуральными.