Упражнение 548 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^2 - 8x + 9 = 0\)

\(a=1\), \(b=-8\), \(c=9\).

\(D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4\cdot1\cdot9 =\)

\(=64 - 36 = 28. \)

\(\sqrt{D} = \sqrt{28}= \sqrt{4\cdot7} = 2\sqrt{7}\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-8)+ 2\sqrt{7}}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{8+2\sqrt{7}}{2} =\frac{\cancel2(4+\sqrt{7})}{\cancel2}=\)

\(=4+\sqrt{7} \approx 4 + 2,65\approx 6,65 \).

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-8)- 2\sqrt{7}}{2\cdot1} =\)

\(=\frac{8-2\sqrt{7}}{2} =\frac{\cancel2(4-\sqrt{7})}{\cancel2}=\)

\(=4-\sqrt{7} \approx 4 - 2,65\approx 1,35 \).

Ответ: \(x_1 \approx 6,65 \), \(x_2\approx 1,35 \).

б) \(2y^2 - 8y + 5 = 0\)

\(a=2\), \(b=-8\), \(c=5\).

\( D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4\cdot2\cdot5 =\)

\(=64 - 40 = 24. \)

\(\sqrt{D} = \sqrt{24} = \sqrt{4\cdot6}=2\sqrt{6}\).

\( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-8) + 2\sqrt{6}}{2\cdot2} =\)

\(=\frac{8+2\sqrt{7}}{4} =\frac{\cancel2(4+\sqrt{6})}{\cancel4_2}=\)

\(=\frac{4+\sqrt{6}}{2} \approx \frac{4 + 2,45}{2}\approx \frac{6,45}{2} \approx3,23\).

\( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-8) - 2\sqrt{6}}{2\cdot2} =\)

\(=\frac{8-2\sqrt{7}}{4} =\frac{\cancel2(4-\sqrt{6})}{\cancel4_2}=\)

\(=\frac{4-\sqrt{6}}{2} \approx \frac{4 - 2,45}{2}\approx \frac{1,55}{2} \approx0,78\).

Ответ: \( y_1 \approx3,23\), \( y_2 \approx0,78\).

Пояснения:

1. Количество корней полного квадратного уравнения

\(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

2. Свойство арифметического корня:

\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\).

3. Вынесение общего множителя за скобки:

\(ab + ac = a(b+c)\).

4. Сокращение дробей:

\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).

1 способ

\(x^2 = 0{,}5x + 3\)

\(y = x^2\) - парабола.

\(y=0{,}5x + 3\) - прямая.

2 способ

\(x^2 = 0{,}5x + 3\)

\( x^2 - 0{,}5x - 3 = 0 \)   \(/\times2\)

\( 2x^2 - x - 6 = 0 \)

\(a = 2\),  \(b = -1\),  \(c = -6\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-1)^2 - 4\cdot2\cdot(-6) =\)

\(1 + 48 = 49\);    \(\sqrt{D} = 7\)).

\( x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-1) +7}{2\cdot2} =\)

\(=\frac{8}{4} = 2\).

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-1) -7}{2\cdot2} = \)

\(\frac{-6}{4}= -\frac32 = -1{,}5\).

Ответ: \( x_1 = 2\),  \( x_2 =-1,5\).

Пояснения:

1 способ

Чтобы решить уравнения графически, в левой части уравнения оставляем \(x^2\), а остальные компоненты переносим в правую часть,изменив их знаки на противоположные. Строим два графика:

•  \(y = x^2\) - парабола. Строим по точкам;
•  \(y = 0,5x+3\) - прямая. Для построения достаточно двух точек.

Абсциссы (координаты \(x\)) точек пересечения графиков и будут решениями исходного уравнения.

2 способ

Количество корней полного квадратного уравнения

\(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.