Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1025 учебника 2023-2025 (стр. 228):
Докажите, что при \(a>0\) и \(b>0\) верно неравенство:
а) \((a+b)\!\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4\);
б) \(\displaystyle \frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{a^{2}}\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\).
№1025 учебника 2013-2022 (стр. 224):
При каком значении \(m\) сумма корней уравнения \(3x^{2} - 18x + m = 0\) равна произведению этих корней?
№1025 учебника 2023-2025 (стр. 228):
Вспомните:
№1025 учебника 2013-2022 (стр. 224):
Вспомните:
№1025 учебника 2023-2025 (стр. 228):
а) \((a+b)\!\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4\),
\(a>0\) и \(b>0\).
1) \(\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\) \(/\times 2\)
\(a + b \ge2\sqrt{ab}\)
2) \(\frac{\frac1a + \frac1b}{2} \ge \sqrt{\frac1a \cdot \frac1b}\) \(/\times 2\)
\(\frac1a + \frac1b \ge 2\sqrt{\frac{1}{ab}}\)
3) Перемножим неравенства:
\((a + b)(\frac1a + \frac1b) \ge 2\sqrt{ab} \cdot 2\sqrt{\frac{1}{ab}}\)
\((a + b)(\frac1a + \frac1b) \ge 4\sqrt{ab \cdot \frac{1}{ab}}\)
\((a + b)(\frac1a + \frac1b) \ge 4\sqrt{1}\)
\((a + b)(\frac1a + \frac1b) \ge 4\)
Что и требовалось доказать.
б) \(\displaystyle \frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{a^{2}}\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\),
\(a>0\) и \(b>0\).
\(\displaystyle \frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{a^{2}} - (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \ge 0\),
\( \frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{a^{2}}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\ge0 \) \(/\times a^2b^2\)
\( a^{3}+b^{3}-ab(a+b)\ge0. \)
\( a^{3}+b^{3}-ab^2- a^2b\ge0. \)
\( (a^{3}+b^{3})-ab(a + b)\ge0. \)
\((a + b)(a^2 -ab +b^2) - ab(a+b) \ge 0\)
\((a + b)(a^2 -ab +b^2- ab) \ge 0\)
\((a + b)(a^2 - 2ab +b^2) \ge 0\)
\((a + b)(a - b)^2 \ge 0\) - верно при любых \(a\) и \(b\).
Пояснения:
а) При доказательстве используем соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел: среднее арифметическое любых двух положительных чисел всегда больше или равно их среднему геометрическому.
Среднее арифметическое двух чисел равно сумме этих чисел, делённой на 2.
Среднее геометрическое двух чисел равно корню квадратному из произведения этих чисел.
б) Чтобы выполнить доказательство, мы нашли разность левой и правой частей неравенства, а затем учли, то что если \(a - b \ge 0\), то \(a \ge b\).
Среднее геометрическое двух чисел равно корню квадратному из произведения этих чисел.
Также при доказательстве используем то, что:
- если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых - положительные числа, то получится верное неравенство;
- если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.
№1025 учебника 2013-2022 (стр. 224):
\(3x^{2} - 18x + m = 0\)
\(a = 3,\ b = -18,\ c = m.\)
По теореме Виета:
\(x_{1} + x_{2} = -\dfrac{-18}{3} = 6,\)
\(x_{1}x_{2} = \dfrac{m}{3}.\)
\(x_{1} + x_{2} = x_{1}x_{2}.\)
\(6 = \dfrac{m}{3}\) \(/\times3\)
\(m = 18.\)
Ответ: при \(m = 18.\)
Пояснения:
По теореме Виета для квадратного уравнения \(ax^{2} + bx + c = 0\):
\( x_{1} + x_{2} = -\dfrac{b}{a}\),
\(x_{1}x_{2} = \dfrac{c}{a}\)
В данной задаче требуется, чтобы сумма и произведение корней были равны. Подставив найденные выражения и решив простое линейное уравнение, получаем \(m = 18.\)
Вернуться к содержанию учебника