Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1020 учебника 2023-2025 (стр. 228):
(Задача-исследование.) Моторная лодка прошла в один день некоторое расстояние по течению реки и вернулась обратно. В другой день она прошла такое же расстояние по течению более быстрой реки и также вернулась обратно. В какой из дней лодка затратила на весь путь больше времени?
1) Выскажите предположение об ожидаемом ответе.
2) Введите обозначения:
\(x\) км/ч — скорость лодки в стоячей воде; \(y\) км/ч и \(z\) км/ч — скорости течения первой и второй рек; \(s\) км — расстояние, на которое отплывала лодка.
3) Запишите формулы для вычисления времени \(t_1\) ч и \(t_2\) ч, затраченного лодкой на весь путь в каждый из дней.
4) Найдите разность \(t_1 - t_2\), и, оценив её, ответьте на вопрос задачи.
5) Подтвердилось ли ваше предположение?
№1020 учебника 2013-2022 (стр. 224):
Выполните умножение:
а) \((3{,}25 \cdot 10^{2}) \cdot (1{,}4 \cdot 10^{3})\);
б) \((4{,}4 \cdot 10^{-3}) \cdot (5{,}2 \cdot 10^{4})\).
№1020 учебника 2023-2025 (стр. 228):
Вспомните:
№1020 учебника 2013-2022 (стр. 224):
Вспомните:
№1020 учебника 2023-2025 (стр. 228):
1) Предположение: чем быстрее течение, тем больше различие скоростей при движении по и против течения. Можно ожидать, что на более быстрой реке общее время будет больше.
2) Скорость лодки в стоячей воде:
\(x\) км/ч;
скорость течения первой реки:
\(y\) км/ч;
скорость течения второй реки:
\(z\) км/ч (\(z > y\));
расстояние в одну сторону: \(s\) км.
3) \( t_1 = \frac{s}{x+y} ^{\color{blue}{\backslash x-y}} + \frac{s}{x-y} ^{\color{blue}{\backslash x+y}} = \)
\(= \frac{s(x-y)+s(x+y)}{(x-y)(x+y)} =\)
\(= \frac{sx-\cancel{sy}+sx+\cancel{sy}}{x^2-y^2} =\)
\(= \frac{s\cdot2x}{x^2-y^2} = \frac{2sx}{x^2-y^2}\).
\( t_2 = \frac{s}{x+z} ^{\color{blue}{\backslash x-z}} + \frac{s}{x-z} ^{\color{blue}{\backslash x+z}} = \)
\(= \frac{s(x-z)+s(x+z)}{(x-z)(x+z)} =\)
\(= \frac{sx-\cancel{sz}+sx+\cancel{sz}}{x^2-z^2} =\)
\(= \frac{s\cdot2x}{x^2-z^2} = \frac{2sx}{x^2-z^2}\).
4) \( t_1 - t_2 = \frac{2sx}{x^2-y^2} - \frac{2sx}{x^2-z^2}. \)
\(z>y\), тогда \(x^2-z^2 < x^2-y^2\).
\(\frac{2sx}{x^2-z^2} > \frac{2sx}{x^2-y^2}\),
\(t_2 > t_1\).
5) Вывод: лодка потратила больше времени во второй день — на более быстрой реке. Предположение подтвердилось.
Пояснения:
При движении по течению скорость лодки увеличивается до \(x+v\), а против течения уменьшается до \(x-v\). Общее время туда и обратно всегда выражается как сумма: \[ t = \frac{s}{x+v} + \frac{s}{x-v}. \]
При увеличении скорости течения знаменатель уменьшается, что увеличивает всю дробь. Поэтому чем быстрее течение, тем больше итоговое время.
№1020 учебника 2013-2022 (стр. 224):
а) \((3{,}25 \cdot 10^{2}) \cdot (1{,}4 \cdot 10^{3}) =\)
\(=(3{,}25 \cdot 1{,}4) \cdot (10^{2}\cdot10^3) =\)
\(=4{,}55 \cdot 10^{5}.\)
| × | 3 | 2 | 5 | |
| 1 | 4 | |||
| + | 1 | 3 | 0 | 0 |
| 3 | 2 | 5 | ||
| 4 | 5 | 5 | 0 |
б) \((4{,}4 \cdot 10^{-3}) \cdot (5{,}2 \cdot 10^{4}) =\)
\(=(4{,}4 \cdot 5{,}2) \cdot (10^{-3}\cdot10^4) =\)
\(=22{,}88 \cdot 10^{1} = 2{,}288 \cdot 10^{2}.\)
| × | 4 | 4 | ||
| 5 | 2 | |||
| + | 8 | 8 | ||
| 2 | 2 | 0 | ||
| 2 | 2 | 8 | 8 |
Пояснения:
При умножении чисел, записанных в стандартном виде, перемножаются коэффициенты и складываются показатели степеней числа 10:
\[(a \cdot 10^{m}) \cdot (b \cdot 10^{n}) = (a \cdot b) \cdot 10^{m+n}.\]
Число в стандартном виде записывается как \(a \cdot 10^{n}\), где
\(1 \le a < 10\) и \(n\) — целое число.
Показатель степени \(n\) называется порядком числа.
Если полученный коэффициент больше 10, его нужно привести к стандартному виду — перенести запятую влево и увеличить показатель степени на 1.
Вернуться к содержанию учебника