Упражнение 1000 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{\sqrt{12-25x}}{6}\)

\(12-25x \ge 0 \)

\(-25x \ge -12 \)   \(/ : (-25)\)

\(x \le \dfrac{12}{25}\)

Ответ: \(x \in (-\infty; \dfrac{12}{25}].\)

б) \(\dfrac{1}{\sqrt{5x-11}}\)

\(5x-11 > 0 \)

\(5x > 11 \)   \( / : 5\)

\(x > \dfrac{11}{5}\)

\(x > 2,2\)

Ответ: \(x \in (2,2; +\infty).\)

в) \(\dfrac{4x}{\sqrt{(3x-2)^2}}\)

\(\sqrt{(3x-2)^2} = |3x-2|\).

\(3x-2 \ne 0 \)

\(3x \ne 2 \)

\(x \ne \dfrac{2}{3}.\)

Ответ: \(x \) - любое число, кроме \(\dfrac{2}{3}.\)

Пояснения:

Для выражений с квадратным корнем необходимо, чтобы подкоренное выражение было \(\ge 0\), если корень в числителе, и строго \(>0\), если корень в знаменателе.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

В пункте а) подкоренное выражение \(12-25x \ge 0\), так как оно стоит в числителе, поэтому получаем ограничение \(x \le \tfrac{12}{25}\).

В пункте б) подкоренное выражение стоит в знаменателе, поэтому \(5x-11 > 0 \), откуда получаем ограничение \(x > 2,2\).

В пункте в) в знаменателе стоит \(\sqrt{(3x-2)^2} = |3x-2|\), что всегда \(\ge 0\). Нужно исключить только случай равенства нулю: \(x \ne \tfrac{2}{3}\).

а) \( 0{,}2a^{-2}b^{4} \cdot 5a^{3}b^{-3} =\)

\(=(0{,}2 \cdot 5) \cdot a^{-2+3} \cdot b^{4+(-3)} =\)

\(=1 \cdot a^{1}b^{1} = ab. \)

Если \(a = -0{,}125,\; b = 8\), то

\( ab = (-0{,}125) \cdot 8 = -1. \)

б) \( \dfrac{1}{27}a^{-1}b^{-5} \cdot 81a^{2}b^{4} =\)

\(=\left(\dfrac{1}{\cancel{27}}\cdot\cancel{81}  ^{\color{blue}{3}} \right)a^{-1+2}b^{-5+4} =\)

\(=3a^{1}b^{-1} = 3a\cdot\dfrac{1}{b} = \dfrac{3a}{b}. \)

Если \(a = \dfrac{1}{7},\; b = \dfrac{1}{14}\), то

\( \dfrac{3a}{b} = \dfrac{3\cdot\frac{1}{7}}{\frac{1}{14}} = \frac37 : \frac{1}{14}=\frac{3}{\cancel7}\cdot\cancel{14}  ^{\color{blue}{2}}=6. \)

Пояснения:

Чтобы найти значения выражений, сначала эти выражения упрощаем, а затем в упрощенные выражения подставляем вместо букв числа и выполняем вычисления.

Используемые при упрощении свойства степеней:

\( a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}, \quad a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}. \)

Все числовые множители перемножаем отдельно от буквенных.