Упражнение 814 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть скорость течения (и скорость плота) равна \(x\) км/ч.

\(2 \; ч \;40 \; мин = 2\frac{40}{60} \; ч = 2\frac23 \; ч = \frac{8}{3}\; ч\)

Составим уравнение:

\(\frac{17}{x} - \frac{27}{12-x} = \frac83\)   \(/\times3x(12-x)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(12-x\neq 0\)

                            \(x\neq12\)

\(51(12 - x) -81x = 8x(12 - x)\)

\(612 - 51x - 81x = 96x -8x^2\)

\(612 - 51x - 81x - 96x + 8x^2 = 0\)

\(8x^2 -228x + 612 = 0\)   \(/ : 4\)

\(2x^2 -57x + 153 = 0\)

\(a = 2\),  \(b = -57\),  \(c = 153\)

\(D b^2-4ac = (-57)^2 - 4\cdot2\cdot153 =\)

\(=3249 - 1224 = 2025\),   \(\sqrt D = 45\).

\(x_1=\frac{-(-57)+45}{2\cdot2} =\frac{102}{4}=25,5\) - не удовлетворяет условию.

\(x_2=\frac{-(-57)-45}{2\cdot2} =\frac{12}{4}=3\).

Ответ: 3 км/ч.

Пояснения:

Время в пути вычисляется по формуле \[t=\frac{S}{v}.\]

Мы обозначили скорость течения \(x\). Катер идёт со скоростью \(12 - x\) против течения, его путь 27 км. Плот идёт со скоростью \(x\) и успел пройти 17 км, но он стартовал раньше на \(\frac{8}{3}\) ч. Учитывая данные условия получаем дробное рациональное уравнение:

\(\frac{17}{x} - \frac{27}{12-x} = \frac83\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D = b^2 - 4ac>0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(25,5\) и \(3\). Но значение скорости течения реки не может быть равно \(25\) км/ч, так как в таком случае скорость катера \(12 - x = 12 - 25,5< 0\), чего не может быть (скорость может принимать только положительные значения). Значит, скорость течения реки равна \(3\) км/ч.

а) \((3; 7)\) — интервал.

б) \([1; 6]\) — числовой отрезок.

в) \((-\infty; 5)\) — открытый числовой луч.

г) \([12; +\infty)\) — числовой луч.

д) \((-\infty; 3]\) — числовой луч.

е) \((15; +\infty)\) — открытый числовой луч.