Упражнение 810 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 181

Пусть скорость течения реки \(x\) км/ч.

Составим уравнение:

\(\frac{25}{x} - \frac{25}{12-x} = 10\)     \(/\times x(12-x)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(12 - x\neq 0\)

                            \(x\neq12\)

\(25(12 - x) - 25x =10x(12 - x)\)

\(300 - 25x -25x = 120x -10x^2\)

\(300 - 25x -25x - 120x +10x^2 = 0\)

\(10x^2 -170x + 300 = 0\)    \(/ : 10\)

\(x^2 -17x+30 = 0\)

\(a = 1\), \(b = -17\),  \(c = 30\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-17)^2 - 4\cdot1\cdot30 = \)

\(=289 - 120 = 169\),   \(\sqrt D = 13\).

\( x_1 = \frac{-(-17) + 13}{2\cdot1} = \frac{30}{2} = 15\) - не удовлетворяет условию.

\( x_2 = \frac{-(-17) - 13}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\).

Ответ: скорость течения реки \(2\) км/ч.

Пояснения:

Время в пути вычисляется по формуле \[t=\frac{S}{v}.\]

Мы обозначили скорость течения реки \(x\) км/ч. По условию задачи составили дробное рациональное уравнение:

\(\frac{25}{x} - \frac{25}{12-x} = 10\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D = b^2 - 4ac>0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(15\) и \(2\). Но значение скорости течения реки не может быть равно \(15\) км/ч, так как в таком случае скорость против течения реки \(12 - x = 12 - 15< 0\), чего не может быть (скорость может принимать только положительные значения). Значит, скорость течения реки равна \(2\) км/ч.

\( 1 - \frac{1}{2 - x} = \frac{6 - x}{3(x^2 - 4)} - \frac{1}{x - 2}\)

\( 1 + \frac{1}{x - 2} = \frac{6 - x}{3(x - 2)(x + 2)} - \frac{1}{x - 2}\) \(/\times3(x-2)(x + 2)\)

ОДЗ: \(x - 2 \neq 0\)  и  \(x + 2 \neq 0\)

         \(x \neq 2\)             \( x \neq -2\)

\(3(x - 2)(x + 2) +3(x+2) = 6-x-3(x+2)\)

\(3(x^2 - 4) + 3x + 6 = 6 - x -3x - 6\)

\(3x^2 -12 + 3x + 6 = - 4x\)

\(3x^2 -12 + 3x + 6 + 4x = 0\)

\( 3x^2 + 7x - 6 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = 7\),  \(c = -6\)

\(D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) =\)

\( = 49 + 72 =121\),   \(\sqrt D = 11\).

\(x_1 = \frac{-7+ 11}{2\cdot3} =\frac46=\frac23\).

\(x_2 = \frac{-7- 11}{2\cdot3} =\frac{-18}{6}=-3\).

Ответ: \(\frac23;  -3\).

Пояснения:

Алгоритм решения уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Решение целых уравнений:

Полное квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c=0\) решается через дискриминант \(D = b^2-4ac\). Если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

Приемы, использованные при преобразованиях:

- разность квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a + b)\).

- противоположные выражения:

\(-(a - b) = b - a\).

- свойство дроби:

\(\frac{a}{-b} = -\frac ab\).

- распределительное свойство умножения:

\(ka \pm kb = k(a \pm b)\).

- подобные слагаемые:

\(ax \pm bx = (a \pm b)x\).