Упражнение 812 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть скорость течения реки равна \(x\) км/ч.

\(5\; ч \;20\;мин = 5\frac{20}{60}\; ч = 5\frac{1}{3}\; ч=\frac{16}{3}\; ч\)

Составим уравнение:

\(\frac{20}{x} - \frac{20}{x+12} = \frac{16}{3}\) \(/\times 3x(x+12)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(x + 12\neq 0\)

                            \(x\neq-12\)

\(60(x+12) -60x = 16x(x + 12)\)

\(\cancel{60x} + 720 - \cancel{60x} = 16x^2 +192x\)

\(16x^2 + 192x - 720 = 0\) \(/ : 16\)

\(x^2 + 12x- 45 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 12\),  \(c = -45\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=12^2 -4\cdot1\cdot (-45) =\)

\(=144 + 180 = 324\),    \(\sqrt D = 18\).

\( x_1 = \frac{-12 + 18}{2\cdot1}=\frac62 = 3\).

\( x_2 = \frac{-12 - 18}{2\cdot1}=\frac{-30}{2} = -15\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: плот шёл со скоростью 3 км/ч.

Пояснения:

Время в пути вычисляется по формуле \[t=\frac{S}{v}.\]

Мы обозначили скорость плота за \(x\) (скорость плота равна течению реки). Катер шёл быстрее на 12 км/ч, то есть \(x+12\). По условию задачи составили дробное рациональное уравнение:

\(\frac{20}{x} - \frac{20}{x+12} = \frac{16}{3}\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D = b^2 - 4ac>0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(3\) и \(-15\).Но отрицательный корень не подходит, так как скорость может быть только положительным числом. Значит, плот проходил \(3\) км в час, то есть двигался со скоростью \(3\) км/ч.

а) \([-2; 4]\) — числовой отрезок.

б) \((-3; 3)\) — интервал.

в) \([0; 5]\) — числовой отрезок.

г) \((-4; 0)\) — интервал.

д) \((3; +\infty)\) — открытый числовой луч.

е) \([2; +\infty)\) — числовой луч.

ж) \((-\infty; 4]\) — числовой луч.

з) \((-\infty; -1)\) —открытый числовой луч.

и) \((-\infty; +\infty)\) — вся числовая прямая.