Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1228 учебника 2023-2025 (стр. 236):
Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.
№1228 учебника 2013-2022 (стр. 235):
Из города A в город B в 8 ч 50 мин вышли два автобуса. В то же время из города B в город A выехал велосипедист. Один автобус он встретил в 10 ч 10 мин, а другой — в 10 ч 50 мин. Расстояние между городами 100 км. Найдите скорость велосипедиста, если скорость одного автобуса в \(1\dfrac{5}{7}\) раза больше скорости другого.
№1228 учебника 2023-2025 (стр. 236):
Вспомните:
№1228 учебника 2013-2022 (стр. 235):
Вспомните:
№1228 учебника 2023-2025 (стр. 236):
Пусть натуральное число \(n\) не делится на 3. При делении на 3 остаток может быть только 1 или 2.
1) Если при делении на 3 число \(n\) даёт остаток 1, то \(n=3k+1\). Тогда
\( n^2 - 1 = (3k+1)^2 - 1 =\)
\(=9k^2 + 6k + 1 - 1 =\)
\(=9k^2 + 6k =\)
\(=3(3k^2 + 2k)\) - кратно 3.
2) Если при делении на 3 число \(n\) даёт остаток 2, то \(n=3k+2\). Тогда
\( n^2 - 1 = (3k+2)^2 - 1 =\)
\(=9k^2 + 12k + 4 - 1 =\)
\(=9k^2 + 12k + 3 =\)
\(=3(3k^2 + 4k + 1)\) - кратно 3.
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
– Любое натуральное число при делении на 3 даёт остаток 0, 1 или 2. Здесь исключаем остаток 0 по условию.
– Для остатков 1 и 2 квадрат числа даёт вид, содержащий множитель 3, и после вычитания 1 получается число, кратное 3.
№1228 учебника 2013-2022 (стр. 235):
Пусть \(x\) км/ч скорость первого автобуса, тогда скорость второго автобуса — \(1\tfrac{5}{7}x=\tfrac{12}{7}x\) км/ч. А скорость велосипедиста — \(y\) км/ч.
1) 10 ч 10 мин - 8 ч 50 мин =
= \(1\) ч 20 мин = \(\tfrac{4}{3}\) ч - через это время первый автобус встретился с велосипедистом.
2) 10 ч 50 мин - 8 ч 50 мин = 2 ч - через это время второй автобус встретился с велосипедистом.
3) Составим систему уравнений:
\( \begin{cases} \tfrac{4}{3}y + \tfrac{4}{\cancel{3}}\cdot\tfrac{\cancel{12} ^4}{7}x = 100,\\ 2y + 2x = 100 / : 2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} \tfrac{4}{3}y + \tfrac{16}{7}x = 100, /\times21\\ y + x = 50 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 7\cdot4y + 3\cdot16x = 2100, / :4 \\ y + x = 50 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 7(50 - x) + 12x = 525, \\ y = 50 - x \end{cases} \)
\(350 - 7x + 12x = 525\)
\(5x = 525 - 350\)
\(5x = 175\)
\(x = \frac{175}{5}\)
\(x = 35\)
\(y = 50 - 35 = 15\)
Ответ: скорость велосипедиста равна \(y=15\) км/ч.
Пояснения:
1) Первое уравнение отражает суммарный путь (100 км) в встрече с первым автобусом за \(\tfrac{4}{3}\) ч.
2) Второе — суммарный путь (100 км) в встрече со вторым автобусом за 2 ч.
3) Составили систему уравнений, учитывая свойства уравнений, преобразовали их, и далее решили систему способом подстановки: из второго уравнения выразили \(y\), подставили полученное выражение в первое уравнение, решив полученное уравнение нашли \(x\), затем нашли \(y\).
Вернуться к содержанию учебника