Упражнение 1221 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(a=10^{10}\). Тогда

1) \( \frac{10^{10}+1}{10^{11}+1} = \frac{10^{10}+1}{10\cdot10^{10}+1}=\)

\(=\frac{a+1}{10a+1}^{\color{blue}{\backslash100a+1}} =\)

\(=\frac{(a+1)(100a+1)}{(10a+1)(100a+1)}=\)

\(=\frac{100a^2+a+100a+1}{(10a+1)(100a+1)}=\)

\(\frac{100a^2+101a+1}{(10a+1)(100a+1)}.\)

2) \(\frac{10^{11}+1}{10^{12}+1} =\frac{10^{11}+1}{10^2\cdot10^{10}+1}=\)

\(=\frac{10a+1}{100a+1}^{\color{blue}{\backslash10a+1}} = \)

\(=\frac{(10a+1)(10a+1)}{(100a+1)(10a+1)}=\)

\(=\frac{(10a+1)^2}{(100a+1)(10a+1)}=\)

\(=\frac{100a^2+20a+1}{(10a+1)(100a+1)}.\)

3) \(\frac{100a^2+101a+1}{(10a+1)(100a+1)}>\frac{100a^2+20a+1}{(10a+1)(100a+1)}\)

\(\frac{a+1}{10a+1} > \frac{10a+1}{100a+1}\)

\( \frac{10^{10}+1}{10^{11}+1} > \frac{10^{11}+1}{10^{12}+1} \)

Пояснения:

– При сравнении учитываем то, что две дроби положительные.

– Свойство степени

\(a^ma^n = a^{m+n}\),

позволяет ввести обозначение

\(a=10^{10}\).

– Для сравнения приводим дроби к общему знаменателю, при этом помним правила:

1) Умножение многочлена на многочлен:

\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\);

2) квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

– Сравниваем числители полученных дробей: из двух дробей с одинаковыми знаменателями, больше та дробь, у которой числитель больше.

а) \( \begin{cases} x - y = -1,\\ y - z = -1,\\ z + x = 8; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = y -1,\\ z = y +1,\\ (y+1) + (y-1) = 8; \end{cases} \)

\(y+1 + y-1 = 8\)

\(2y = 8\)

\(y = \frac82\)

\(y=4.\)

\(x = 4 - 1 = 3.\)

\(z = 4 + 1 = 5.\)

Ответ: \(x = 3,\) \(y=4,\) \(z = 5.\)

б) \( \begin{cases} x + y = -3,\\ y + z = 6,\\ z + x = 1; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = -y - 3,\\ z = -y + 6,\\ (-y + 6) + (-y - 3) = 1; \end{cases} \)

\(-y + 6 - y - 3 = 1\)

\(-2y + 3 = 1\)

\(-2y = 1 - 3\)

\(-2y = -2\)

\(y = 1.\)

\(x = -1 - 3 = -4.\)

\(z = -1 + 6 = 5.\)

Ответ: \(x = -4,\) \(y = 1,\) \(z = 5.\)

в) \( \begin{cases} x - y + 2z = 1,\\ x - y - z = -2,\\ 2x - y + z = 1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x - y = 1 - 2z,\\ 1 - 2z - z = -2,\\ 2x - y + z = 1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x - y = 1 - 2z,\\ -3z = -2-1,\\ 2x - y + z = 1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x - y = 1 - 2z,\\ -3z = -3,\\ 2x - y + z = 1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x - y = 1 - 2z,\\ z = 1,\\ 2x - y + z = 1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x - y = 1 - 2\cdot1,\\ z = 1,\\ 2x - y + 1 = 1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x - y = -1,\\ z = 1,\\ 2x - y = 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = x + 1,\\ z = 1,\\ 2x - (x + 1) = 0 \end{cases} \)

\(2x - x - 1 = 0\)

\(x = 1.\)

\(y = 1 + 1 = 2.\)

Ответ: \(x = 1,\) \(y = 2,\) \(z = 1.\)

Пояснения:

• Метод подстановки заключается в поочерёдном выражении одной переменной через остальные и подстановке в следующие уравнения.
• Так мы постепенно сокращаем число неизвестных, пока не найдём все значения.