Упражнение 1217 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник
Старая и новая редакции
Вернуться к содержанию учебника
Вопрос
Выберите год учебника
№1217 учебника 2023-2025 (стр. 235):
Постройте график функции:
а) \(y = |x| - 3\);
б) \(y = 4 - |x|\).
№1217 учебника 2013-2022 (стр. 234):
Найдите все простые числа \(p\) и \(q\), для которых
\[\;p^2 - 2\,q^2 = 1.\]
Подсказка
№1217 учебника 2023-2025 (стр. 235):
Вспомните:
- График линейной функции.
- Координаты точки.
- Уравнения с двумя переменными, их свойства.
- Линейное уравнение с одной переменной.
- Сложение рациональных чисел.
- Вычитание рациональных чисел.
№1217 учебника 2013-2022 (стр. 234):
Вспомните:
- Какие числа называют простыми.
- Уравнения с двумя переменными, их свойства.
- Разность квадратов двух выражений.
- Степень с натуральным показателем.
- Четные и нечетные числа.
Ответ
№1217 учебника 2023-2025 (стр. 235):
а) \(y = |x| - 3\)
Если \(x \ge 0\), то
\(y = x - 3\)
| \(x\) | 0 | 3 |
| \(y\) | -3 | 0 |
Если \(x < 0\), то
\(y = -x - 3\)
| \(x\) | 0 | -3 |
| \(y\) | -3 | 0 |
б) \(y = 4 - |x|\)
Если \(x \ge 0\), то
\(y = 4 - x\)
| \(x\) | 0 | 4 |
| \(y\) | 4 | 0 |
Если \(x < 0\), то
\(y = 4 - (-x) = 4 + x\)
| \(x\) | 0 | -4 |
| \(y\) | 4 | 0 |
Пояснения:
а) Для \(y = |x| - 3\) рассмотрим два случая:
Если \(x \ge 0\), то \(|x| = x\) и уравнение примет вид:
\(y = x - 3\) — графиком является прямая.
Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\) и уравнение примет вид:
\(y = -x - 3\) — графиком является прямая.
График состоит из двух лучей, пересекающихся в вершине с координатами \((0; -3)\).
б) Для \(y = 4 - |x|\) рассмотрим два случая:
Если \(x \ge 0\), то \(|x| = x\) и уравнение примет вид
\(y = 4 - x\) — графиком является прямая.
Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\) и уравнение примет вид:
\(y = 4 - (-x) =4 + x\) — графиком является прямая.
График состоит из двух лучей, пересекающихся в вершине с координатами \((0;4)\).
№1217 учебника 2013-2022 (стр. 234):
\(p\) и \(q\) - простые числа.
\[\;p^2 - 2\,q^2 = 1.\]
\[2q^2 = p^2 - 1.\]
\[2q^2 = (p - 1)(p + 1).\]
\(p\) — простое и больше 2, так как данная разность положительна, и оно нечётное. Значит, и \(p-1\), и \(p+1\) — чётные. Тогда одно из них обязательно делится на 4, а произведение \((p-1)(p+1)\) делится на 8. Отсюда \(2q^2\) делится на 8, значит, \(q^2\) делится на 4, то есть \(q^2\) — квадрат чётного простого числа, поэтому \(q=2\).
\(p^2 - 2\cdot2^2 = 1\)
\(p^2 - 8 = 1 \)
\(p^2 = 9 \)
\(p = 3\) или \(p = -3\) - не подходит.
Ответ: единственная пара простых чисел — \(p=3\), \(q=2\).
Пояснения:
1) Корни уравнения не изменяются, если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
2) Разность квадратов двух выражений:
\(\;p^2 - 1 = (p-1)(p+1)\).
3) Если \(p\) нечётно, то оба соседних числа \(p-1\) и \(p+1\) чётные, и одно из них делится на 4, поэтому их произведение кратно 8.
4) Из равенства \(2q^2\) кратно 8 следует, что \(q^2\) кратно 4, тогда \(q\) чётно и из простых чисел подходит только 2.
5) Подставляя \(q=2\) в исходное уравнение, получаем ровно одно целое \(p=3\), что и завершает доказательство.
Вернуться к содержанию учебника