Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1208 учебника 2023-2025 (стр. 235):
Число \(a\) составляет 75 % числа \(b\) и 40 % числа \(c\). Число \(c\) на 42 больше числа \(b\). Найдите числа \(a\) и \(b\).
№1208 учебника 2013-2022 (стр. 234):
Разложите на множители многочлен:
а) \(x^8 + x^4 - 2\);
б) \(a^5 - a^2 - a - 1\);
в) \(n^4 + 4\);
г) \(n^4 + n^2 + 1\).
№1208 учебника 2023-2025 (стр. 235):
Вспомните:
№1208 учебника 2013-2022 (стр. 234):
Вспомните:
№1208 учебника 2023-2025 (стр. 235):
Составим систему уравнений:
\( \begin{cases} a = 0{,}75\,b,\\ a = 0{,}4\,c,\\ c = b + 42. \end{cases} \)
\( \begin{cases} a = 0{,}75\,b,\\ 0{,}75\,b = 0{,}4(b + 42),\\ c = b + 42. \end{cases} \)
\(0{,}75\,b = 0{,}4(b + 42)\)
\(0{,}75\,b = 0{,}4b + 16,8\)
\(0{,}75\,b - 0{,}4b = 16,8\)
\(0{,}35\,b = 16,8\)
\(b = \frac{16,8}{0,35}\)
\(b = \frac{1680}{35}\)
\(b = 48\)
| - | 1 | 6 | 8 | 0 | 3 | 5 | |||||||||
| 1 | 4 | 0 | 4 | 8 | |||||||||||
| - | 2 | 8 | 0 | ||||||||||||
| 2 | 8 | 0 | |||||||||||||
| 0 |
\( a = 0{,}75 \cdot 48 = 36. \)
| × | 0 | 7 | 5 | |
| 4 | 8 | |||
| + | 6 | 0 | 0 | |
| 3 | 0 | 0 | ||
| 3 | 6 | 0 | 0 |
Ответ: \(a = 36,\) \( b = 48\).
Пояснения:
– Перевод процентов в десятичные дроби:
75% = 0,75, 40% = 0,4.
– Составили систему из соотношений \(a\) с \(b\) и \(c\), а также связи между \(b\) и \(c\).
– Решили систему методом подстановки:
выразили \(c\) через \(b\), приравняли и нашли \(b\), затем вычислили \(a\).
№1208 учебника 2013-2022 (стр. 234):
а) \( x^8 + x^4 - 2 =\)
\(=x^8 + x^4 - 1 - 1 =\)
\(= (x^8 - 1) + (x^4 - 1) =\)
\(= ((x^4)^2 - 1^2) + (x^4 - 1) =\)
\(=(x^4 - 1)(x^4 + 1) + (x^4 - 1)=\)
\(=(x^4 - 1)(x^4 +1 + 1)=\)
\(=((x^2)^2 - 1^2)(x^4 + 2)=\)
\(=(x^2 - 1)(x^2 +1)(x^4 + 2)= \)
\(=(x-1)(x+1)(x^2 +1)(x^4 + 2). \)
б) \( a^5 - a^2 - a - 1 =\)
\(=(a^5 - a) - (a^2 + 1) =\)
\(=a(a^4 - 1) - (a^2 + 1) =\)
\(=a(a^2 - 1)(a^2 + 1) - 1\cdot(a^2 + 1) =\)
\(=(a^2 + 1)\,\bigl(a(a^2 - 1) - 1\bigr)=\)
\(= (a^2 + 1)\,(a^3 - a - 1). \)
в) \( n^4 + 4 = n^4 + 4n^2 + 4 - 4n^2 =\)
\(=(n^2 + 2)^2 - (2n)^2 = \)
\(=\bigl(n^2 + 2 - 2n\bigr)\,\bigl(n^2 -2 + 2n\bigr). \)
г) \( n^4 + n^2 + 1 = \)
\(= n^4 + n^2 + 1 + n^2 - n^2= \)
\(=n^4 + 2n^2 + 1 - n^2 =\)
\(=(n^2 + 1)^2 - n^2 =\)
\(=(n^2 + 1 - n)\,(n^2 + 1 + n).\)
Пояснения:
– Разность квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).
– Квадрат суммы двух выражений:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
– Умножение одночлена на многочлен:
\(a(b+c) = ab + ac\).
– Вынесение общего множителя за скобки:
\(ax + bx = (a + b)x\).
– Свойства степени:
\((a^m)^n = a^{mn}\);
\(a^ma^n = a^{m+n}\).
В пункте а) разложение по общему множителю \(x^4-1\), затем разность квадратов.
В пункте б) группировка: \(a^5 - a\), затем \(a^2+1\) как общий множитель.
В пунктах в) и г) использованы формулы квадрата суммы и разности квадратов, при этом учитывали то, что выражение не изменится, если к нему прибавить и вычесть одно и то же выражение.
Вернуться к содержанию учебника