Упражнение 1210 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(N = \underbrace{111\ldots1}_{81\text{ раз}}\)

Сумма цифр числа \(N\):

\(\underbrace{1+1+1+\ldots+1}_{81\text{ раз}}=81\)

Значит, число \(N\) делится на 9.

Пусть \( A = \frac{N}{9}, \) причём \(A\) - целое число.

\(A = \underbrace{111\,111\,111}_{9\text{ единиц}} \;\underbrace{111\,111\,111}_{9\text{ единиц}} \;\dots \;\underbrace{111\,111\,111}_{9\text{ единиц}} \quad(9\text{ раз}). \)

Сумма цифр каждого блока «111 111 111» равна 9, а таких блоков 9, значит сумма цифр числа \(A\) равна \(9 \times 9 = 81\), снова кратна 9. Поэтому число \(A\) делится на 9.

Вывод:
Имеем \(N = 9 \cdot A\), причём и 9, и \(A\) делятся на 9. Значит, \( N \text{ делится на }9\times9 = 81. \)

Пояснения:

– Признак делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

– Мы применили его дважды: сначала к \(N\), затем к числу \(A\).

– Получили, что \(N\) имеет в разложении на простые множители по крайней мере две девятки, то есть делится на 81.

Пусть \(n\) и \(n+1\) два последовательных натуральных числа.

\( (n+1)^3 - n^3 =\)

\(=(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - n^3 =\)

\(=\cancel{n^3} + 3n^2 + 3n + 1 - \cancel{n^3} =\)

\(=3n^2 + 3n + 1 =\)

\(=3n^2 + 3n + 1 = 3n(n+1) + 1. \)

\(n\) и \(n+1\) — два последовательных натуральных числа, поэтому одно из них чётное, тогда произведение

\(n(n+1)\) чётно, значит, \(3n(n+1)\) кратно 6. Тогда остаток при делении \(3n(n+1) + 1 = (n+1)^3 - n^3 \) на 6 равен 1.

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

1) Формула куба суммы:

\((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\).

2) Свойство двух подряд идущих чисел: одно из \(n\) и \(n+1\) чётное, значит их произведение делится на 2.

3) Умножение на 3: если произведение чётно, то домножение на 3 делает число кратным 6. Оставшийся «+1» и даёт остаток 1.