Упражнение 1213 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть было число \( \overline{ab} = 10a + b\).

1. Зачеркнули цифру \(a\).

Составим уравнение:

\( \overline{ab} = 31b\)

\( 10a + b = 31b\)

\( 10a = 31b - b\)

\( 10a = 30b\)    / \( : 10\)

\( a = 3b\)

Если \(b=1,\) то \(,a=3\cdot1 = 3\), значит, в числе \(31\) зачеркнули цифру \(1\).

Если \(b=2,\), то \(a=6\), значит, в числе \(62\) зачеркнули цифру \(6\).

Если \(b=3,\) то \(a=9\), значит, в числе \(93\) зачеркнули цифру \(9\).

2. Зачеркнули цифру \(b\):

\( \overline{ab} = 31a\)

\( 10a + b = 31a\)

\( b = 31a - 10a\)

\( b = 21a \)

\(21a\) при \(a\ge1\) превышает 9, значит, \(b\) не является цифрой.

Ответ: исходное число может быть 31, 62 или 93, при этом зачёркивается цифра десятков и остаётся цифра единиц.

\(2 - 1 = 1\), поэтому произведение не изменится.

\((2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)=\)

\(=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)=\)

\(=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)=\)

\(=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)=\)

\(=(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)=\)

\(=(2^{16}-1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)=\)

\(=(2^{32}-1)(2^{32}+1)=\)

\(=2^{64}-1.\)

Пояснения:

1) При доказательстве используем то, что произведение не изменится, если его умножить на единицу, поэтому домножаем произведение на

\(2 - 1 = 1\).

2) Далее последовательно применяем формулу разности квадратов:

\((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\)

3) Используем свойство степени:

\((a^m)^n = a^{mn}\).