Упражнение 1209 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(x\) — десятки двузночного числа, \(y\) - единицы. Тогда двузначное число \(\overline{xy} = 10x+y\), а сумма его цифр — \(x+y\).

Составим уравнение:

\( 10x + y = 4(x+y) \)

\( 10x + y = 4x + 4y \)

\(6x = 3y \)

\(2x = y. \)

Если \(x = 1\), то \(y = 2\cdot1 = 2\).

Если \(x = 2\), то \(y = 2\cdot2 = 4\).

Если \(x = 3\), то \(y = 2\cdot3 = 6\).

Если \(x = 4\), то \(y = 2\cdot4 = 8\).

Если \(x = 5\), то \(y = 2\cdot5 = 10\) - не подходит.

Ответ: двузначные числа 12, 24, 36, 48.

Пояснения:

– Запись числа через цифры: \(10x+y\).

– Сумма цифр: \(x+y\).

– Линейное уравнение сводится к соотношению между цифрами: \(2x=y\).

– Ограничение на цифры:

\(x\) - цифры от 1 до 9;

\(y\) - цифры от 0 до 9 даёт четыре решения (12, 24, 36, 48).

\(\;p^2 - 1 = (p-1)(p+1).\)

\(p\) — простое больше 3, значит, оно нечётное и не делится на 3. Тогда числа \(p-1\), \(p\) и \(p+1\) — три последовательных целых, из которых:

— два (именно \(p-1\) и \(p+1\)) — чётные и каждое содержит множитель 2, причём одно из них делится на 4.

— одно из трёх (или \(p-1\), или \(p+1\)) делится на 3, так как \(p\) не делится на 3.

В произведении \((p-1)(p+1)\) имеются множители 4, 2 и 3, то есть в сумме разложение содержит

\(2\cdot4\cdot3=24\).

Значит, \(p^2 - 1\) кратно \(24.\)

Пояснения:

1) Формула разности квадратов:
\[\;a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).\]

2) Свойства подряд идущих чисел:
— В любой паре двух последовательных чётных чисел одно кратно 4;
— Среди трех последовательных целых чисел одно число кратно 3.

3) Комбинируя эти факты, получаем, что в произведении \((p-1)(p+1)\) есть по крайней мере один множитель 4, один множитель 2 и один множитель 3, дающие в произведении 24.