Упражнение 1212 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть было число \(\overline{ab}\), тогда стало число \(\overline{1ab1}\)

Составим уравнение:

\(\overline{1ab1} = 23\cdot\overline{ab} \)

\( 1001 + 100a + 10b = 23\cdot(10a + b) \)

\( 1001 + 100a + 10b = 230a + 23b \)

\( 1001 = 230a - 100a + 23b - 10b \)

\(1001 = 130a + 13b \)

\(1001 = 13\cdot\overline{ab} \)

\(\overline{ab} = \frac{1001}{13}\)

\(\overline{ab} = 77\).

Ответ: число 77.

Пояснения:

– Представили двузначное число через \( \overline{ab} = 10a+b\).

– Приписывание цифры слева и справа соответствует формуле для многозначного числа.

– Использовали уравнение

«новое число = 23 × исходное число»

и решили его по шагам.

Пусть натуральное число \(n\) не делится на 3. При делении на 3 остаток может быть только 1 или 2.

1) Если при делении на 3 число \(n\) даёт остаток 1, то \(n=3k+1\). Тогда

\( n^2 - 1 = (3k+1)^2 - 1 =\)

\(=9k^2 + 6k + 1 - 1 =\)

\(=9k^2 + 6k =\)

\(=3(3k^2 + 2k)\) - кратно 3.

2) Если при делении на 3 число \(n\) даёт остаток 2, то \(n=3k+2\). Тогда

\( n^2 - 1 = (3k+2)^2 - 1 =\)

\(=9k^2 + 12k + 4 - 1 =\)

\(=9k^2 + 12k + 3 =\)

\(=3(3k^2 + 4k + 1)\) - кратно 3.

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

– Любое натуральное число при делении на 3 даёт остаток 0, 1 или 2. Здесь исключаем остаток 0 по условию.

– Для остатков 1 и 2 квадрат числа даёт вид, содержащий множитель 3, и после вычитания 1 получается число, кратное 3.