Упражнение 1095 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( (2x - 3y)^2 + (2x + 3y)^2 =\)

\(= 4x^2 - \cancel{12xy} + 9y^2 + 4x^2 + \cancel{12xy} + 9y^2 =\)

\(=8x^2 + 18y^2. \)

б) \((2x+3y)^2- (2x-3y)^2=\).

\(= \bigl((2x+3y)-(2x-3y)\bigr)\bigl((2x+3y)+(2x-3y)\bigr) =\)

\(= \bigl(\cancel{2x}+3y-\cancel{2x}+3y\bigr)\bigl(2x+\cancel{3y}+2x-\cancel{3y}\bigr) =\)

\(=6y\cdot4x = 24xy. \)

в) \( 2\Bigl(\frac{x}{2} + \frac{y}{4}\Bigr)^2 + (2x - y)^2 =\)

\(= 2\Bigl(\frac{x^2}{4} + \frac{xy}{4} + \frac{y^2}{16}\Bigr) + \bigl(4x^2 -4xy + y^2\bigr) =\)

\(=\frac{x^2}{2} + \frac{xy}{2} + \frac{y^2}{8} + 4x^2 -4xy + y^2= \)

\(= (\frac{x^2}{2} + 4 ^{\color{blue}{\backslash2}}x^2) + (\frac{xy}{2} - 4 ^{\color{blue}{\backslash2}} xy) + (\frac{y^2}{8} + y^2  ^{\color{blue}{\backslash8}} )=\)

\(= \frac{x^2+8x^2}{2} + \frac{xy - 8xy}{2} + \frac{y^2+8y^2}{8}=\)

\(= \frac{9}{2}x^2 - \frac{7}{2}xy + \frac{9}{8}y^2= \)

\(= 4\frac{1}{2}x^2 - 3\frac{1}{2}xy + 1\frac{1}{8}y^2 \)

г) \(3 \Bigl(\frac{x}{3} + \frac{y}{9}\Bigr)^2 - (3x - y)^2 = \)

\(= 3\Bigl(\frac{x^2}{9} + \frac{2xy}{27} + \frac{y^2}{81}\Bigr) - \bigl(9x^2 -6xy + y^2\bigr) =\)

\(=\frac{x^2}{3} + \frac{2xy}{9} + \frac{y^2}{27} - 9x^2 + 6xy - y^2= \)

\(=(\frac{x^2}{3} - 9 ^{\color{blue}{\backslash3}} x^2) + (\frac{2xy}{9} + 6 ^{\color{blue}{\backslash9}} xy) + (\frac{y^2}{27} - y^2  ^{\color{blue}{\backslash27}} )=\)

\(=\frac{x^2-27x^2}{3} + \frac{2xy+54xy}{9} + \frac{y^2+27y^2}{27} =\)

\(= -\frac{26}{3}x^2 + \frac{56}{9}xy - \frac{26}{27}y^2= \)

\(= -8\frac{2}{3}x^2 + 6\frac{2}{9}xy - \frac{26}{27}y^2. \)

Пояснения:

Использованные формулы:

1. Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

2. Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)

3. Разность квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).\)

4. Свойство степени:

\((ab)^n=a^nb^n\).

5. Сложение подобных членов:

\(cx^2 + dx^2 = (c+d)x^2\), аналогично для \(xy\) и \(y^2\).

а) \( \begin{cases} \tfrac{1}{3}x - \tfrac{1}{12}y = 4,    /\times12 \\ 6x + 5y = 150; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4x - y = 48,   /\times5 \\ 6x + 5y = 150; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 20x - 5y = 240, \\ 6x + 5y = 150; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 26x = 390, \\ 6x + 5y = 150; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = \frac{390}{26}, \\ 5y = 150 - 6x; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 15, \\ 5y = 150 - 6\cdot15; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 15, \\ 5y = 150 - 90; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 15, \\ 5y = 60; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 15, \\ y = \frac{60}{5}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 15, \\ y = 12. \end{cases} \)

Ответ: \(x = 15, \) \( y = 12.\)

б) \( \begin{cases} \tfrac{1}{3}v - \tfrac{1}{8}u = 3,   /\times24 \\ 7u + 9v = -2; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 8v - 3u = 72,  /\times7 \\ 9v + 7u = -2; /\times3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 56v - 21u = 504, \\ 27v + 21u = -6; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 83v= 498, \\ 27v + 21u = -6; \end{cases} \)

\( \begin{cases} v= \frac{498}{83}, \\ 21u = -6 - 27v; \end{cases} \)

\( \begin{cases} v= 6, \\ 21u = -6 - 27\cdot6; \end{cases} \)

\( \begin{cases} v= 6, \\ 21u = -6 - 162; \end{cases} \)

\( \begin{cases} v= 6, \\ 21u = -168; \end{cases} \)

\( \begin{cases} v= 6, \\ u = -\frac{168}{21}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} v= 6, \\ u = -8; \end{cases} \)

Ответ: \(u = -8,\) \(v= 6\).

в) \( \begin{cases} \tfrac{x}{4} + \tfrac{y}{6} = 1,   /\times12\\ 2x + 3y = -12; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3x + 2y = 12,  /\times(-2) \\ 2x + 3y = -12;  /\times3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -6x - 4y = -24, \\ 6x + 9y = -36; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5y = -60, \\ 6x + 9y = -36; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -\frac{60}{5}, \\ 6x = -36-9y; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -12, \\ 6x = -36-9\cdot(-12); \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -12, \\ 6x = -36+108; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -12, \\ 6x = 72; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -12, \\ x = \frac{72}{6}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -12, \\ x = \frac{72}{6}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -12, \\ x = 12; \end{cases} \)

Ответ: \( x = 12, \) \(y = -12.\)

г) \( \begin{cases} 4a - 5b - 10 = 0,\\ \tfrac{a}{5} - \tfrac{b}{3} + \tfrac{1}{3} = 0;    /\times15 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4a - 5b - 10 = 0,\\ 3a - 5b + 5 = 0; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4a - 5b = 10,\\ 3a - 5b = -5;  /\times(-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4a - 5b = 10,\\ -3a + 5b = 5; \end{cases} \)

\( \begin{cases} a = 15,\\ -3a + 5b = 5; \end{cases} \)

\( \begin{cases} a = 15,\\ 5b = 5 + 3a; \end{cases} \)

\( \begin{cases} a = 15,\\ 5b = 5 + 3\cdot15; \end{cases} \)

\( \begin{cases} a = 15,\\ 5b = 5 + 45; \end{cases} \)

\( \begin{cases} a = 15,\\ 5b = 50; \end{cases} \)

\( \begin{cases} a = 15,\\ b = \frac{50}{5}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} a = 15,\\ b = 10; \end{cases} \)

Ответ: \(a = 15,\) \( b = 10.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Преобразование уравнений к целым коэффициентам умножением на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, или на 10, 100 и т.д., когда дроби десятичные.

2) Перенос членов из одной части уравнения в другую:

если \(a+b=c+d\), то \(a-d=c-b\).

3) Решение системы методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

4) После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

5) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

6) Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.

Объяснение для (а):

Чтобы получить целочисленные коэффициенты перед переменными, первое уравнение системы умножили на 12 (общий знаменатель дробей).

Далее первое уравнение умножили на \(5\), тем самым получили противоположные коэффициенты перед переменной \(y\). Затем сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(y\) в них равны по модулю и противоположны: \(-5y\) и \(5y\). В результате переменная \(y\) исчезла и получилось линейное уравнение

\(26x = 390\), откуда \(x=15\).

Затем подставили найденное значение \(x\) во второе уравнение для нахождения \(y\).

Объяснение для (б):

Чтобы получить целочисленные коэффициенты перед переменными, первое уравнение системы умножили на 18 (общий знаменатель дробей).

Далее первое уравнение умножили на \(7\), а второе на \(3\), тем самым получили противоположные коэффициенты перед переменной \(u\). Затем сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(u\) в них равны по модулю и противоположны: \(-21u\) и \(21u\). В результате переменная \(u\) исчезла и получилось линейное уравнение

\(83v= 498\), откуда \(v=6\).

Затем подставили найденное значение \(v\) во второе уравнение для нахождения \(u\).

Объяснение для (в):

Чтобы получить целочисленные коэффициенты перед переменными, первое уравнение системы умножили на 12 (общий знаменатель дробей).

Далее первое уравнение умножили на \(-2\), а второе на \(3\), тем самым получили противоположные коэффициенты перед переменной \(x\). Затем сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(x\) в них равны по модулю и противоположны: \(-6x\) и \(6x\). В результате переменная \(x\) исчезла и получилось линейное уравнение

\(5y = -60\), откуда \(y=-12\).

Затем подставили найденное значение \(y\) во второе уравнение для нахождения \(x\).

Объяснение для (г):

Чтобы получить целочисленные коэффициенты перед переменными, первое уравнение системы умножили на 15 (общий знаменатель дробей). И в каждом уравнении члены без переменной перенесли в правую часть уравнения, изменив их знаки.

Далее второе уравнение умножили на \(-1\), тем самым получили противоположные коэффициенты перед переменной \(b\). Затем сложили оба уравнения, так как коэффициенты при \(b\) в них равны по модулю и противоположны: \(-5b\) и \(5b\). В результате переменная \(b\) исчезла и получили:

\(a = 15.\)

Затем подставили найденное значение \(a\) во второе уравнение для нахождения \(b\).