Задание 408 - ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян. Учебник

Дано: окр.(О), АВ и СD - хорды,

АВ = СD, МN - диаметр, АВ СD = К,

К МN.

Доказать: АВ и СD симметричны относительно МN.

Доказательство:

1. К МN, K симметрична сама себе относительно МN.

2. АОВ = COD по трем сторонам (ОА = ОВ = ОС = ОD - радиусы, АВ = СD по условию), ОАВ = ОDС.

3. АОD - равнобедренный (ОА = ОD - радиусы), ОАD = ОDА (углы при основании).

4. DАВ = ОАD + ОАВ,

АDС = ОDА + ОDС, DАВ = АDС, АKD - равнобедренный (признак равнобедренного треугольника), АK = KD, СК = KB (т.к. по условию АВ = СD).

5. ОС = ОВ (радиусы), ОK - общая, СK = KB, ОСК = ОВК, СОК = ВОК, ОР - биссектриса равнобедренного ВОС, ОР - высота и медиана ВОС (свойство равнобедренного треугольника), ОР, значит, и МN - серединный перпендикуляр к отрезку ВС, точки В и С симметричны относительно МN.

6. Точка К симметрична относительно МN, точки В и С симметричны относительно МN, хорды АВ и СD симметричны относительно МN. Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Две фигуры называются симметричными относительно прямой, если каждая точка одной фигуры симметрична некоторой точке другой фигуры, и обратно. Данная прямая называется осью симметрии этих фигур. Две точки А и А₁ называются симметричными относительно прямой , если эта прямая проходит через середину отрезка АА₁ и перпендикулярна к нему. Прямая называется осью симметрии точек A и A₁. Каждая точка оси симметрична самой себе.

Прямая однозначно задается двумя точками, следовательно, для доказательства симметричности двух прямых относительно прямой, нам нужно доказать симметричность двух точек одной прямой к двум точкам другой прямой.