Третий признак равенства треугольников

Теорема

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

Пример:

ABC = A1B1C1, так как AC = A1C1, AB =A1B1 и  BC =B1C1.

Из данной теоремы следует, что треугольник - жесткая фигура, т.е. фигура, не подверженная деформации.


Доказательство:

Дано: ABC, A1B1C1, AC = A1C1, AB =A1B1, BC =B1C1.

Доказать: ABC = A1B1C1

Доказательство:

Приложим ABC к A1B1C1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, вершина B - с вершиной B1, а вершины C и C1 оказались по разные стороны от прямой AB (A1B1).

1. Луч CC1 проходит внутри A1C1B1.

2. Луч CC1 совпадает с одной из сторон A1C1B1.

3. Луч CC1 проходит вне A1C1B1.(обратите внимание, что, несмотря на то, что изображения в п.2 и в п.3 похожи, эти два случая для различных треугольников)

Рассмотрим последний случай (остальные доказываются аналогично): Поскольку по условию теоремы AC = A1C1, BC =B1C1, то CB1C1 и CA1C1 - равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника B1CC1 = B1C1C, A1CC1 = A1C1C. Следовательно, B1CA1 = B1C1A1 (B1CA1 = B1CC1 A1CC1 B1C1C - A1C1= B1C1A1). Таким образом, AC = A1C1, BC = B1C1, B1CA1 = B1C1A, а из этого следует, что ABC = A1B1C1 по I признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Треугольник

Равенство треугольников

Первый признак равенства треугольников

Перпендикуляр к прямой

Медианы треугольника

Биссектрисы треугольника

Высоты треугольника

Равнобедренный треугольник

Свойства равнобедренного треугольника

Второй признак равенства треугольников

Окружность

Построения циркулем и линейкой

Треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 135, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 141, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 15, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 172, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 175, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 176, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 11, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 4, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1243, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1294, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник