Задание 404 - ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян. Учебник

Старая и новая редакции

Вернуться к содержанию учебника

401 402 403 404 405 406 407

Вопрос

Выберите год учебника

№404 учебника 2013-2022 (стр. 112):

Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.


№404 учебника 2023-2024 (стр. 115):

Докажите, что прямые, симметричные двум данным перпендикулярным прямым относительно прямой , перпендикулярны.

Подсказка

№404 учебника 2013-2022 (стр. 112):

Вспомните:

  1. Какой треугольник называется прямоугольным.
  2. Что такое медиана.
  3. Что такое параллелограмм.
  4. Что такое прямоугольник.
  5. Что такое симметрия.

№404 учебника 2023-2024 (стр. 115):

Вспомните:

  1. Какие фигуры называют симметричными относительно прямой.
  2. Какие прямые называют перпендикулярными.
  3. Третий признак равенства треугольников.
  4.  

Ответ

№404 учебника 2013-2022 (стр. 112):


№404 учебника 2023-2024 (стр. 115):

Дано: прямые с1 и b1 симметричны прямым с и b относительно прямой , с b.

Доказать: с1 b1

Доказательство:

1 случай:

Пусть b и с пересекают ось .

В АМВ и АМ1В: АВ общая, АМ = АМ1, ВМ = ВМ1 (т.к. прямые с1 и b1 симметричны прямым с и b относительно прямой ), АМВ = АМ1В по 3 признаку равенства треугольников, АМВ = АМ1В, с1 b1. Что и требовалось доказать.

2 случай:

Пусть b пересекает ось , а c не пересекает.

с и с1 симметричны относительно , с с1, а b и b1 - совпадают, при этом с b, с1 b1. Что и требовалось доказать.


Пояснения:

1 случай:

Пусть обе прямые b и с пересекают ось симметрии в точках А и В соответственно. Две фигуры называются симметричными относительно прямой, если каждая точка одной фигуры симметрична некоторой точке другой фигуры, и обратно. Каждая точка оси  симметрична самой себе. Тогда, точки А и В симметричны сами себе соответственно, а точка М симметрична точке М1.

Рассмотрим АМВ и АМ1В. Сторона АВ в этих треугольниках общая, а также АМ = АМ1, ВМ = ВМ1, т.к. расстояние между двумя данными точками  равно расстоянию между симметричными им точками. Следовательно, АМВ = АМ1В по 3 признаку равенства треугольников (по трем сторонам). В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат соответственно равные углы, тогда АМВ = АМ1В. При этом по условию с b, значит, и с1 b1. Что и требовалось доказать.

2 случай:
Пусть одна прямая b пересекает ось , а другая прямая c не пересекает ось . Прямые с и с1 симметричны относительно оси , значит, прямая с1 также не пересекает ось , т.е. с с1, т.к. если две прямые симметричны относительно оси  , то они либо параллельны, либо их точка пересечения лежит на оси симметрии .
Прямая c не пересекает ось , значит, с , при этом с b, значит, b , так как если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая ей перпендикулярна, следовательно, прямая b и симметричная ей прямая b1 совпадают и b1 c.
Итак, с с1, b1 c, значит, с1 b1, так как если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая ей перпендикулярна. Что и требовалось доказать.

Вернуться к содержанию учебника