Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Теорема:

В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство:

1) Дано: АВС, АВАС.

   Доказать: СВ.

   Доказательство:

Отложим на стороне АВ отрезок АD, равный стороне АС.

 АDАВ, т.к. по построению АD = АС, а по условию АСАВ, значит, точка D лежит между точками А и В. Следовательно, 1 является частью С, т.е. С1. Угол 2 внешний угол DBC, поэтому 2В. АDС - равнобедренный с основанием DC, т.к. по построению АD = АС, следовательно, 1 =2 (углы при основании).

Итак, С1, 1 =2, значит, С2, при этом 2В, следовательно, СВ.

2) Дано: АВС, СВ.

   Доказать: АВАС.

   Доказательство:

Предположим, что это не так. Тогда возможны два варианта:

  1. либо АВ = АС, тогда АВС - равнобедренный с основанием ВС, значит, С =В (как углы при основании), что противоречит условию: СВ.
  2. либо АВАС, тогда СВ, т.к. против большей стороны лежит больший угол (смотри 1 часть доказательства), что противоречит условию: СВ

Значит, наше предположение неверно, следовательно, АВАС. Что и требовалось доказать.

Следствие 1

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Доказательство:

Дано: АВС, ВС - гипотенуза, А - прямой.

Доказать: ВСАСВС АВ.

Доказательство:

АВС - прямоугольный, А - прямой, следовательно, углы В и С острые, тогда АВ и АС, значит, ВСАСВСАВтреугольнике против большего угла лежит большая сторона). Что и требовалось доказать.

Следствие 2

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Доказательство:

Дано: АВС, В =С.

Доказать: АС = АВ.

Доказательство:

Предположим, что одна из сторон будет больше, т.е. АСАВ, тогда и угол лежащий против этой стороны будет больше, т.е. ВСтреугольнике против большей стороны лежит больший угол), а это противоречит условию: В =С, следовательно, наше предположение неверно, значит АС = АВ.

Итак, в АВС равны две стороны (АС = АВ), следовательно, данный треугольник - равнобедренный. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Теорема о сумме углов треугольника

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Неравенство треугольника

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Уголковый отражатель

Расстояние от точки до прямой

Расстояние между параллельными прямыми

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам

Построение треугольника по трем его сторонам

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 236, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 238, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 239, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 240, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 241, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 256, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 816, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1036, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1079, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1134, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник