Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Теорема:

Доказательство:

1) Дано: АВС, АВАС.

   Доказать: СВ.

   Доказательство:

Отложим на стороне АВ отрезок АD, равный стороне АС.

 АDАВ, т.к. по построению АD = АС, а по условию АСАВ, значит, точка D лежит между точками А и В. Следовательно, 1 является частью С, т.е. С1. Угол 2 внешний угол DBC, поэтому 2В. АDС - равнобедренный с основанием DC, т.к. по построению АD = АС, следовательно, 1 =2 (углы при основании).

Итак, С1, 1 =2, значит, С2, при этом 2В, следовательно, СВ.

2) Дано: АВС, СВ.

   Доказать: АВАС.

   Доказательство:

Предположим, что это не так. Тогда возможны два варианта:

1. либо АВ = АС, тогда АВС - равнобедренный с основанием ВС, значит, С =В (как углы при основании), что противоречит условию: СВ.
2. либо АВАС, тогда СВ, т.к. против большей стороны лежит больший угол (смотри 1 часть доказательства), что противоречит условию: СВ. 

Значит, наше предположение неверно, следовательно, АВАС. Что и требовалось доказать.

Следствие 1

Доказательство:

Дано: АВС, ВС - гипотенуза, А - прямой.

Доказать: ВСАС, ВС АВ.

Доказательство:

АВС - прямоугольный, А - прямой, следовательно, углы В и С острые, тогда АВ и АС, значит, ВСАС, ВСАВ (в треугольнике против большего угла лежит большая сторона). Что и требовалось доказать.

Следствие 2

Доказательство:

Дано: АВС, В =С.

Доказать: АС = АВ.

Доказательство:

Предположим, что одна из сторон будет больше, т.е. АСАВ, тогда и угол лежащий против этой стороны будет больше, т.е. ВС (в треугольнике против большей стороны лежит больший угол), а это противоречит условию: В =С, следовательно, наше предположение неверно, значит АС = АВ.

Итак, в АВС равны две стороны (АС = АВ), следовательно, данный треугольник - равнобедренный. Что и требовалось доказать.