Некоторые свойства прямоугольных треугольников

 По теореме о сумме углов треугольника сумма углов треугольника равна 180⁰, прямой угол равен 90⁰, поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰.

Дано: ABC, A = 90⁰, B = 30⁰

Доказать: AC = BC

Доказательство:

A + B + C = 180⁰ (по теореме о сумме углов треугольника), C = 180⁰ - A - B =180⁰ - 90⁰ - 30⁰ = 60⁰. Приложим к ABC равный ему ABD:

Рассмотрим BCD: B = DBA +ABC = 30⁰ + 30⁰ = 60⁰, B = D = 60⁰, а если в каком-либо треугольнике два угла равны, то такой треугольник равнобедренный, значит BCD - равнобедренный и DC = BC, но AC = DC,   AC = BC, что и требовалось доказать.

Дано: ABC, A = 90⁰, AC = BC

Доказать: B = 30⁰

Доказательство:

Приложим к ABC равный ему ABD:

DC = DA + AC = 2AC, но АС = ВС, значит, DC = ВС, то есть BC = BD = DC, BCD - равносторонний, а значит BDC = CBD = BCD = 60⁰, но CBD = 2ABC, ABC = 30⁰, что и требовалось доказать.

Свойство медианы прямоугольного треугольника:

Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.