Упражнение 1083 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 246

\[ (5+10^{n+1})(1+10+\ldots+10^n)+1 \]

\(1; 10; \ldots; 10^n\) - геометрическая прогрессия, в которой \(n + 1\) член, \(b_1 = 1\) и \(q = 10 : 1 = 10\).

\(S_{n+1} = \frac{b_1(q^{n+1} - 1)}{q-1} =\)

\(= \frac{1\cdot(10^{n+1} - 1)}{10-1} =\)

\(= \frac{10^{n+1} - 1}{9} \), значит,

\( 1+10+\ldots+10^n=\frac{10^{n+1}-1}{9} \)

\( (5+10^{n+1})(1+10+\ldots+10^n)+1=\)

\(=(5+10^{n+1})\cdot \frac{10^{n+1}-1}{9}+1 \)

\[ =\frac{(10^{n+1}+5)(10^{n+1}-1)}{9}+1 =\]

\[ =\frac{10^{2n+2}-10^{n+1}+5\cdot 10^{n+1}-5}{9}+1 ^{\color{blue}{\backslash9}} =\]

\[ =\frac{10^{2n+2}+4\cdot 10^{n+1}-5}{9}+1= \]

\[ =\frac{10^{2n+2}+4\cdot 10^{n+1}-5+9}{9} =\]

\[ =\frac{10^{2n+2}+4\cdot 10^{n+1}+4}{9} =\]

\[ =\frac{(10^{n+1})^2+2\cdot 10^{n+1}\cdot 2+2^2}{9} =\]

\[ =\frac{(10^{n+1}+2)^2}{3^2} =\left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2 \]

Так как сумма цифр числа \( 10^{n+1}+2\) при любом \(n\) равна \(3\), это число нацело делится на \(3\), значит число \(\frac{10^{n+1}+2}{3}\) - натуральное. Следовательно, данное выражение является квадратом натурального числа:

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Сначала используем формулу суммы геометрической прогрессии:

\( 1+10+10^2+\ldots+10^n=\)

\(=\frac{10^{n+1}-1}{10-1}=\frac{10^{n+1}-1}{9}. \)

Это позволяет заменить длинную сумму более удобной дробью. После подстановки всё выражение становится алгебраическим, и его можно преобразовывать обычным раскрытием скобок.

Далее раскрываем скобки в произведении:

\[ (10^{n+1}+5)(10^{n+1}-1). \]

По правилу умножения многочленов получаем:

\( 10^{n+1}\cdot 10^{n+1}-10^{n+1}+5\cdot 10^{n+1}-5 =\)

\(=10^{2n+2}+4\cdot 10^{n+1}-5. \)

После этого не забываем прибавить \(1\). Чтобы объединить это с дробью, представляем единицу в виде

\[ 1=\frac{9}{9}. \]

Тогда числитель становится

\( 10^{2n+2}+4\cdot 10^{n+1}-5+9=\)

\(=10^{2n+2}+4\cdot 10^{n+1}+4. \)

Теперь замечаем формулу квадрата суммы:

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. \]

Если взять

\[ a=10^{n+1}, \qquad b=2, \]

то получим:

\( (10^{n+1}+2)^2=\)

\(=(10^{n+1})^2+2\cdot 10^{n+1}\cdot 2+2^2 =\)

\(=10^{2n+2}+4\cdot 10^{n+1}+4. \)

Значит, всё выражение равно

\[ \frac{(10^{n+1}+2)^2}{9}=\left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2. \]

Остаётся объяснить, почему число \(\dfrac{10^{n+1}+2}{3}\) натуральное.

Так как сумма цифр числа \( 10^{n+1}+2\) при любом \(n\) равна \(3\), это число нацело делится на \(3\), значит число \(\frac{10^{n+1}+2}{3}\) - натуральное. Следовательно, данное выражение является квадратом натурального числа:

Что и требовалось доказать.