Упражнение 1082 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 246

\( 1 \cdot 2 \cdot 4 = 8 \cdot 1^3,\quad 2 \cdot 4 \cdot 8 = 8 \cdot 2^3,\quad \ldots,\quad n \cdot 2n \cdot 4n = 8n^3 \)

\( 1 \cdot 3 \cdot 9 = 27 \cdot 1^3,\quad 2 \cdot 6 \cdot 18 = 27 \cdot 2^3,\quad \ldots,\quad n \cdot 3n \cdot 9n = 27n^3 \)

\( \sqrt[3]{\frac{1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + \ldots + n \cdot 2n \cdot 4n}{1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + \ldots + n \cdot 3n \cdot 9n}} =\)

\(=\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 1^3 + 8 \cdot 2^3 + \ldots + 8 \cdot n^3}{27 \cdot 1^3 + 27 \cdot 2^3 + \ldots + 27 \cdot n^3}}= \)

\( = \sqrt[3]{\frac{8\cancel{(1^3 + 2^3 + \ldots + n^3)}}{27\cancel{(1^3 + 2^3 + \ldots + n^3)}}} = \)

\(= \sqrt[3]{\frac{8}{27}}= \sqrt[3]{\left(\frac{2}{3}\right)^3}=\frac{2}{3} \)

Ответ: \(\frac{2}{3}\).

Пояснения:

Используем правило вынесения общего множителя из суммы:

\[ ab+ac=a(b+c). \]

Также используем свойство кубического корня:

\[ \sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}. \]

Сначала рассмотрим числитель. Каждое слагаемое имеет вид

\[ k \cdot 2k \cdot 4k. \]

Перемножим коэффициенты и буквы отдельно:

\[ k \cdot 2k \cdot 4k = 2 \cdot 4 \cdot k^3 = 8k^3. \]

Значит, весь числитель можно записать так:

\( 8 \cdot 1^3 + 8 \cdot 2^3 + \ldots + 8 \cdot n^3 =\)

\(=8(1^3+2^3+\ldots+n^3). \)

Теперь рассмотрим знаменатель. Каждое его слагаемое имеет вид

\[ k \cdot 3k \cdot 9k. \]

Точно так же перемножаем:

\[ k \cdot 3k \cdot 9k = 3 \cdot 9 \cdot k^3 = 27k^3. \]

Тогда знаменатель равен

\( 27 \cdot 1^3 + 27 \cdot 2^3 + \ldots + 27 \cdot n^3 =\)

\(=27(1^3+2^3+\ldots+n^3). \)

После этого в дроби и в числителе, и в знаменателе появляется одинаковая сумма

\[ 1^3+2^3+\ldots+n^3. \]

Она сокращается, потому что стоит и сверху, и снизу как общий множитель:

\[ \frac{8(1^3+2^3+\ldots+n^3)}{27(1^3+2^3+\ldots+n^3)}=\frac{8}{27}. \]

Остаётся найти кубический корень:

\[ \sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{2}{3}, \]

потому что

\[ 2^3=8,\quad 3^3=27. \]

Значит, при любом натуральном \(n\) значение данного выражения всегда одно и то же:

\[ \frac{2}{3}. \]