Упражнение 1078 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 245

\( x^2+2\sqrt{3}x+y-4\sqrt{y}+7=0\)

\( (x^2+2\sqrt{3}x+3)+(y-4\sqrt{y}+4)=0 \)

\( (x+\sqrt{3})^2+(\sqrt{y}-2)^2=0\)

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю.

\( \begin{cases} (x+\sqrt{3})^2=0, \\   (\sqrt{y}-2)^2=0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x+\sqrt{3}=0, \\ \sqrt{y}-2=0  \end{cases} \)

\( \begin{cases} x=-\sqrt{3}, \\  y=4  \end{cases} \)

Ответ: \( x=-\sqrt{3},\quad y=4. \)

Пояснения:

Главная идея решения — преобразовать выражение так, чтобы получить сумму квадратов. Это удобно, потому что квадрат любого числа всегда неотрицателен:

\[ a^2\ge 0. \]

Если сумма нескольких квадратов равна нулю, то каждый из них обязан быть равен нулю.

Сначала заметим, что первые три члена выражения похожи на формулу квадрата суммы:

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. \]

Если взять \(a=x\) и \(b=\sqrt{3}\), получаем

\[ (x+\sqrt{3})^2=x^2+2\sqrt{3}x+3. \]

Поэтому к выражению удобно добавить и вычесть число \(3\), чтобы получить полный квадрат.

Теперь рассмотрим часть выражения с переменной \(y\). Она имеет вид

\[ y-4\sqrt{y}. \]

Заметим, что

\[ (\sqrt{y}-2)^2=y-4\sqrt{y}+4. \]

Поэтому добавляем и вычитаем \(4\), чтобы получить второй полный квадрат.

После этих преобразований исходное уравнение превращается в

\[ (x+\sqrt{3})^2+(\sqrt{y}-2)^2=0. \]

Каждый квадрат неотрицателен, значит их сумма может быть равна нулю только тогда, когда оба квадрата равны нулю.

Отсюда получаем систему:

\[ x+\sqrt{3}=0, \qquad \sqrt{y}-2=0. \]

Решая её, получаем

\[ x=-\sqrt{3},\qquad y=4. \]

Это единственная пара значений, при которой исходное уравнение выполняется.