Упражнение 1081 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 245

\[ \frac{(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)}{abc}\ge 27 \]

\( a^2+a+1=a^2 -2a + 1 + 3a = \)

\(= (a - 1)^2 + 3a\)

\((a - 1)^2 \ge 0\)

\((a - 1)^2 + 3a \ge 3a\)

\( a^2+a+1 \ge 3a\)

Аналогично:

\[ b^2+b+1\ge3b \]

\[ c^2+c+1\ge3c \]

Перемножим эти неравенства:

\[ (a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)\ge 3a\cdot3b\cdot3c \]

\[ (a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)\ge 27abc \]

Так как \(abc>0\), делим обе части на \(abc\):

\[ \frac{(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)}{abc}\ge 27 \]

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

В этой задаче удобно использовать приём оценки каждого множителя снизу.

Нужно доказать, что всё выражение не меньше \(27\). Так как в знаменателе стоит произведение \(abc\), естественно попробовать сравнить каждый множитель числителя с соответствующим числом \(3a\), \(3b\), \(3c\).

Рассмотрим первое выражение:

\[ a^2+a+1. \]

Сравним его с \(3a\):

\[ a^2+a+1-3a=a^2-2a+1. \]

После приведения подобных членов получаем:

\[ a^2-2a+1=(a-1)^2. \]

Квадрат любого числа неотрицателен, значит:

\[ (a-1)^2\ge0. \]

Отсюда следует:

\[ a^2+a+1\ge3a. \]

Точно так же получаются неравенства

\[ b^2+b+1\ge3b \]

и

\[ c^2+c+1\ge3c. \]

Теперь используется важное свойство: если положительные величины сравниваются по отдельности, то их можно перемножить. Поэтому после перемножения трёх неравенств получаем оценку всего числителя:

\[ (a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)\ge27abc. \]

Так как по условию \(a\), \(b\), \(c\) положительны, то и \(abc>0\). Значит, можно разделить обе части неравенства на \(abc\), не меняя знак неравенства.

В результате получается именно то, что требовалось доказать:

\[ \frac{(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)}{abc}\ge27. \]